Модели нечёткого логического вывода

Модели Мамдани

Нечёткие модели Мамдани явились исторически первой попыткой формализации принципов работы нечётких систем.

Общий вид нечёткой модели Мамдани:

ЕСЛИ есть И есть И … И есть ТО y есть

где – лингвистические переменные, а – значения ЛП.

На практике функционирование нечётких моделей рассматривается, как правило, при чётких значениях переменных на входе, то есть при чётко заданном входном векторе .

При чётких входных воздействиях запишем формулу, определяющую механизм вывода для нечётких моделей Мамдани на правиле .

=

=

Дальнейшая классификация моделей Мамдани осуществляется по интерпретации нечёткого оператора И, по способу агрегирования результатов, получаемых на выходе нечётких правил, и по способу дефаззификации окончательного результата.

Пример работы модели Мамдани при использовании двух нечётких правил с двумя условиями, интерпретацией И как min, агрегировании результатов по max, дефаззификации по методу центра тяжести:

Пример работы модели Мамдани при использовании двух нечётких правил с двумя условиями, интерпретацией И как алгебраического произведения, ИЛИ (агрегирования) как max, дефаззификации по методу центра тяжести:

Модели Сугено

Данные модели были предложены Такаги и Сугено в 1985 году. Общий вид данных моделей может быть представлен следующим образом:

ЕСЛИ есть И … И есть ТО ,

где – входные переменные нечёткой системы, ,…, – нечёткие множества, – чёткая функция n аргументов, которая формирует выход нечёткой системы.

Для заданного входа нечёткой системы, выход формируется согласно следующей формуле:

,

где веса определяют истинность правила и вычисляются согласно формуле , где – min или алгебраическое произведение.

Пример нечёткой модели Сугено с двумя входными переменными:

ЕСЛИ x есть И y есть ТО

На практике часто рассматривают случай, когда f является полиномиальной функцией своих аргументов. Причём, если f – полином первой степени, то такая модель называется моделью Сугено первого порядка.

В данных моделях формулы нечёткого вывода будут иметь вид:

, (для правил первой группы)

, (для правил второй группы)

Пример определения трёх нечётких правил в модели Сугено:

Пример нечёткого вывода на модели Сугено:

В моделях Сугено блоки агрегирования и дефаззификации заменяются одним блоком – вычисления среднего взвешенного значения, что позволяет значительно ускорить процесс логического вывода. Однако это ведёт к потере лингвистической интерпретации результата. Зачастую модели Сугено являются более точными, чем модели Мамдани, однако они обладают меньшей интерпретируемостью.

Модели Цукамото

Модели Цукамото строятся на правилах подобных моделям Мамдани, где нечёткие множества имеют монотонную функцию принадлежности. Результат вывода каждого правила представляет собой чёткое число, показывающее степень выполнимости правила. Конечный результат формируется как среднее взвешенное всех промежуточных значений.

Пример вывода на модели Цукамото:

В моделях Цукамото также отсутствует процесс агрегирования нечётких множеств и дефаззификации, что позволяет сократить сложность вычислений.

Сравнительный анализ моделей нечёткого логического вывода

Рассмотренные нечёткие модели имеют свои особенности, которые во многом определяют их практическую применимость.

1. Модели Мамдани обладают хорошей языковой интерпретируемостью, что во многом определяет удобство их использования в мягких человеко-машинных системах (экспертных системах, системах принятия решений и т.д.). Данные модели позволяют эффективно обрабатывать информацию, полученную от человека-эксперта на языке, близком к естественному, когда результат обработки также необходимо представить на близком к естественному языке. Недостатками моделей Мамдани является их вычислительная сложность, и недостаточная точность для решения определённых задач.

2. Достоинством моделей Сугено является их высокая точность и возможность гибкой настройки. Это определяет эффективность их использования в системах контроля и управления. Существенным достоинством данных моделей является их вычислительная простота по сравнению с моделями Мамдани за счёт отказа от блока дефаззификации и использования в блоке агрегирования операций с чёткими числами. Недостатками данных моделей является плохая их интерпретируемость.

3. Модели Цукамото занимают промежуточное место между моделями Мамдани и Сугено. Данные модели также обладают вычислительной простотой, однако более интерпретируемы по сравнению с моделями Сугено.

Дата добавления: 2015-11-14