Нечёткие числа (L-R) типа и операции над ними

В задачах нечёткого моделирования особое место занимают нечёткие числа (L-R) типа. Как правило, использование таких чисел при моделировании нечётких систем вместо нечётких чисел общего вида не снижает эффективность моделирования. К тому же для нечётких чисел (L-R) типа нечёткие арифметические операции имеют более простую интерпретацию.

Пусть L(x) и R(x) – невозрастающие функции на множестве неотрицательных действительных чисел, удовлетворяющие следующим условиям:

1. L(-x)=L(x), R(-x)=R(x), то есть функции L(x) и R(x) являются чётными.

2. L(0)=R(0)=1.

Примеры графиков (L-R)-функций:

Нечётким числом (L-R) типа называют нечёткое число , функция принадлежности которого имеет следующий вид:

где u – мода НЧ, а и его левый и правый коэффициенты нечёткости.

Таким образом, при известных функциях L и R, нечёткие числа (L-R) типа определяется тройкой параметров .

Если же НЧ (L-R) типа имеет значение функции принадлежности, равное единице не в одной точке, а на некотором отрезке, то оно называется толерантным числом (L-R) типа. В данном случае, оно определяется не тройкой, а четвёркой параметров . Отрезок [ ] называется отрезком толерантности.

Примеры нечётких чисел (L-R) типа представлены в таблице.

Математическое представление (L-R) нечёткого числа	Графическое представление (L-R) нечёткого числа
, где
- чёткое число
- толерантное нечёткое число

Среди НЧ (L-R) типа в отдельный класс выделяются треугольные и трапецеидальные НЧ, у которых функции L и R являются линейными. Данные числа имеют большое практическое значение в задачах нечёткого моделирования и принятия решений в связи с простотой их интерпретируемости человеком-экспертом и значительным упрощением арифметических операций над ними.

Получение информации от человека-эксперта в виде треугольных или трапецеидальных нечётких чисел не представляет особых трудностей. Эксперту намного удобнее формировать для машины нечёткую информацию именно в таком виде. В связи с этим, использование треугольных и трапецеидальных нечётких чисел более предпочтительно при построении нечётких моделей, когда не требуется очень большая точность последних. Как правило, в большинстве случаев потеря точности нечётких моделей при обращении к треугольным и трапециидальным нечётким числам не является критической и не выходит за рамки допустимых пределов.

Примеры нечёткого треугольного и трапецеидального чисел:

При описании треугольных и трапецеидальных нечётких чисел, левый и правый коэффициенты размытости и определяют наклон линейных L и R функций. Большая величина коэффициентов размытости соответствует большему наклону соответствующих прямых. Естественным образом определить коэффициенты и как расстояние от моды нечёткого числа до точки пересечения соответствующей прямой с осью абсцисс.

Можно показать, что = ctg угла наклона прямой, а = угла наклона.

Иногда на практике рассматривают вариант, когда (ФП – равнобедренный треугольник или равнобокая трапеция). В данном случае, эксперт задаёт только моду нечёткого числа (или чёткий отрезок для трапеции) и степень размытости.

Операции над нечёткими числами (L-R) типа

Для НЧ (L-R) типа арифметические операции имеют более простую и понятную интерпретацию. Рассмотрим данные операции для нетолерантных (L-R) НЧ.

Пусть и – два нечётких числа (L-R) типа. Нечёткие обобщения арифметических операций над ними будут иметь следующий вид:

1. Сложение:

2. Вычитание:

При сложении и вычитании нечётких чисел их моды складываются или вычитаются соответственно, а коэффициенты размытости всегда складываются.

3. Умножение нечётких чисел:

3.1. Нечёткие числа и определены на , . В данном случае,

3.2. Нечёткие числа и определены на R, . В данном случае,

3.3. Нечёткие числа и определены на R, . В данном случае,

4. Деление: для нечётких чисел и , определенных на , .

5. Нахождение обратного нечёткого числа: для нечёткого числа , определенного на , .

Данные формулы можно применять лишь при малых значениях .

Пример выполнения операции сложения двух нечётких треугольных чисел

Дата добавления: 2015-11-14