Основные операции над нечёткими множествами

Основными операциями в теории нечётких множеств являются операции объединения, пересечения, дополнения и возведения в степень нечёткого множества.

Объединение нечётких множеств и , определённых на универсальном множестве X, есть НМ , определяемое на X как

Пересечение нечётких множеств и , определённых на универсальном множестве X, есть НМ , определяемое на X как

Дополнение нечёткого множества , определённого на универсальном множестве X, есть НМ , определяемое на X как

Операции Ù и Ú являются нечёткими обобщениями лингвистических связок «И» и «ИЛИ» соответственно. Их математическое определение неоднозначно. Можно придумать бесконечное число математических интерпретаций связок «И» и «ИЛИ», однако в теории нечётких множеств используются только некоторые из них. Обычно в качестве «И» используют операцию минимума или умножения, а в качестве «ИЛИ» – максимума или сложения.

Связка	Интерпретация	Пример
ИЛИ
И
ИЛИ
И

Пусть a – некоторое положительное число.

Степенью a нечёткого множества называют НМ , определяемое как

Пример: нечёткие множества и :

Операция возведения НМ в степень для чётких множеств смысла не имеет. С другой стороны, эта операция имеет глубокий практический смысл для НМ. При возведении НМ в степень a>1, НМ становится более строгим. Можно сказать, что в данном случае есть «более чем» . Соответственно, при a<1, НМ становится менее строгим. В данном случае, есть «менее чем» . Операторы возведения НМ в степень играют очень важную роль при моделировании таких естественно-языковых модификаторов, как «более», «менее», «очень», «почти» и т.д.

Наиболее распространёнными разновидностями операций возведения НМ в степень являются концентрирование: CON()= ² и растяжение DIL()= ^0,5.

Введём ряд понятий и определений, относящихся к нечётким множествам.

Пусть имеем нечёткие множества = , = , xÎX.

1. Говорят, что нечёткое множество содержится в нечётком множестве , если выполняется условие .

2. Равенство НМ: = Û .

3. Нечёткое множество называют нормальным, если верхняя грань его функции принадлежности равна единице, то есть .

4. Носителем НМ называют чёткое множество S()= .

5. Ядром НМ называют чёткое множество F()= .

6. Обобщенным расстоянием Хемминга, или линейным расстоянием между НМ и , определенными на универсальном множестве X, называется число , где n – число элементов множества X.

7. Евклидовым, или квадратичным, расстоянием между НМ и , определённых на универсальном множестве X, называется число

= , где n – число элементов множества X.

В случае непрерывности универсального множества X суммы при вычислении расстояний превращаются в интеграл.

Одним из фундаментальных понятий в теории НМ является понятия множества a-уровня для НМ . Пусть aÎ[0,1].

8. Множеством a-уровня для НМ наз-ся чёткое мн-во .

Дата добавления: 2015-11-14