Моменты старших порядков. Дисперсия

Определение 40. Если , то число

называется моментом порядка k (k -м моментом) случайной величины ξ;

называется абсолютным моментом порядка k (абсолютным k -м моментом) случайной величины ξ;

называется центральным моментом порядка k (центральным k -м моментом) случайной величины ξ;

называется абсолютным центральным моментом порядка k (абсолютным центральным k -м моментом) случайной величины ξ.

Число D ξ = E(ξ – E ξ)² (центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величины ξ

Пример 29. Пусть, скажем, случайная величина ξ принимает значение 0 с вероятностью 1-10^-5, и значение 100 с вероятностью 10^-5. Посмотрим, как моменты разных порядков реагируют на большие, но маловероятные значения случайной величины.

Пример 30. Дисперсия D ξ = E(ξ – E ξ)² есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины ξ от своего среднего». Посмотрим, за что эта величина отвечает.

Пусть случайная величина ξ принимает значения +-1 с вероятностью 1/2, а случайная величина η — значения ю +-10 с вероятностью 1/2. Тогда E ξ = E η = 0 поэтому D ξ = E ξ² = 1, D η = E η² = 100. Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Если говорить о распределении случайной величины, как о распределении единичной массы по невесомому стержню, то дисперсия есть в точности момент инерции этого стержня, закрепленного в центре тяжести.

Определение 40. Если дисперсия величины ξ конечна, то число называют среднеквадратичным отклонением случайной величины ξ.

Следует хорошо понимать, что из существования моментов больших порядков следует существование моментов меньших порядков. В частности, конечность второго момента (или дисперсии) влечет существование математического ожидания.

Дата добавления: 2015-11-16