Функции от двух случайных величин

Пусть ξ₁ ξ₂ — случайные величины с плотностью совместного распределения , и задана функция g: R² ® R. Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величины η = g( ξ₁, ξ₂).

Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.

Теорема 25. Пусть х Î R, и область D _x Î R² состоит из точек (x₁ x₂) таких, что g (x₁ x₂) < x. Тогда случайная величина η = g( ξ₁, ξ₂). имеет функцию распределения

Всюду далее в этой главе предполагается, что случайные величины ξ₁ и ξ₂ независимы, то есть

Следствие 10 (Формула свертки). Если с. в. ξ₁ и ξ₂ независимы и имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями f _ξ1 (x₁) и f _ξ2 (x₂)., то плотность распределения суммы ξ₁ + ξ₂ равна «свертке» плотностей f _ξ1 (x₁) и f _ξ2 (x₂)

(9)

Следствие 10 не только предлагает формулу для вычисления плотности распределения суммы, но и утверждает (заметьте!), что сумма двух независимых случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями также имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если даже одна из двух независимых случайных величин имеет дискретное, а вторая – абсолютно непрерывное распределение, то их сумма тоже имеет абсолютно непрерывное распределение, как показывает следующее упражнение.

Упражнение. Пусть с. в. ξ имеет таблицу распределения P (ξ = а_i) = p_i, с. в. η имеет плотность распределения f_η(x), и эти величины независимы. Доказать, что ξ + η имеет плотность распределения

Дата добавления: 2015-11-16