Преобразование одной случайной величины

Мы будем рассматривать только преобразования случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями. Пусть с. в. ξ имеет функцию распределения F _ξ(x) и плотность распределения f_ξ(x). Построим с помощью функции g: R ® R случайную величину η= g( ξ). Требуется найти функцию распределения и, если существует, плотность распределения η.

Замечание 15. Плотность распределения случайной величины η= g (ξ) существует далеко не при любых функциях g. Так, если функция g кусочно-постоянна, то с. в. η имеет дискретное распределение, и плотность ее распределения не существует.

Плотность распределения g (ξ) заведомо существует, если, например, функция g (ξ) монотонна («строго монотонна»). Вспомним, что означает «найти плотность распределения η, если она существует».

По определению, если мы представим (для любого х) функцию распределения η в виде где подинтегральная функция h(y) неотрицательна, то плотность распределения с.в. η существует и в точности равна подинтегральной функции f_ξ(x) = h(x).

Так что доказывать существование плотности распределения и находить ее мы будем одновременно, находя нужное интегральное представление для функции распределения.

Теорема 23. Пусть ξ имеет функцию распределения F _ξ(x) и плотность распределения f_ξ(x), и постоянная a отлична от нуля. Тогда случайная величина η = a ξ + b имеет плотность распределения

Для произвольной монотонной функции g (то есть либо монотонно возрастающей функции, либо монотонно убывающей функции справедливо аналогичное теореме 23 утверждение).

Теорема 24. Пусть ξ имеет функцию распределения F _ξ(x) и плотность распределения f_ξ(x), и функция g: R ® R монотонна. Тогда случайная величина η= g( ξ) имеет плотность распределения

Здесь g ^-1— функция, обратная к g, и

— производная функции g ^-1.

Следствие 7. Если ξ Î N _0,1, то η = σξ+а Î

Следствие 8. Если η Î , то ξ = (η –а)/ σ Î N _0,1.

Следствие 9. Если ξ Î Е _α, то η = αξ Î Е ₁

Дата добавления: 2015-11-16