Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном испытании. Испытания проводятся до появления первого успеха. Введем величину τ, равную номеру первого успешного испытания.

Теорема 13. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k, равна

P (τ = k) = p q^k-1.

Доказательство. Действительно,

Определение 21. Набор чисел {p q^k-1 } называется геометрическим распределением вероятностей и обозначается G _p или G(p).

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения». Пусть величина τ обозначает, скажем, время безотказной работы (измеряемое целым числом часов) некоторого устройства. Предположим, что для величины τ вероятность принять любое свое значение k в точности равна pq^k-1. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 14. Пусть P (τ = k) = p q^k-1. Тогда для произвольных n, k ³ 0

P (τ > n+k\ τ > n) = P (τ > k)

Данному равенству можно придать следующее звучание: если известно, что устройство проработало без отказов n часов, то вероятность ему работать еще не менее k часов точно такая же, как вероятность проработать не менее k часов для нового устройства.

Можно прочесть эту формулу и так: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет времени, или от того, сколько уже работает устройство.

Доказательство. По определению условной вероятности,

(4)

Последнее равенство следует из того, что событие {τ > n+k} влечет событие {τ > n}, так что пересечение этих событий есть {τ > n+k}. Найдем для произвольного m ³ 0 вероятность P (τ > m).

Можно также заметить, что событие {τ > m} означает, что в схеме Бернулли первые m испытаний завершились «неудачами», а это событие имеет вероятность как раз q^m.

Возвращаясь к (4), получим

Дата добавления: 2015-11-16