Задача Бюффона

Пример 10. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игла длины 2l < 2a. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Поймем, что означает здесь «наудачу брошена игла». Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга. Обозначим через хÎ[0, a] расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а φ Î [0, π] —

угол между каким-то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника Ω = [0,π] x [0,a]. Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: х £. l sin φ

Площадь области А Í Ω, точки которой удовлетворяют такому неравенству, равна

И так как μ(Ω) = aπ, то искомая вероятность равна

Дата добавления: 2015-11-16