Раздел 5. Схема Бернулли

5.1 Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 19. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятность р Î [0,1], «неудача» — с вероятностью q = 1 - p.

Теорема 10 (Формула Бернулли).

Обозначим через v_n число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k = 0, 1, …n

Доказательство. Событие A ={ v_n = k } означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию A элементарных исходов:

Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна p^k(1 - p)^n-k.

Другие благоприятствующие событию A элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно способов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна p^k(1 - p)^n-k.

Определение 20. Набор чисел

называется биноминальным распределением вероятностей и обозначается В _np или B (n,p).

Теорема 11 Пусть m₁, m₂ целые числа, 0 £ m₁ £ m £ m₂ £ n Обозначим через Р _n (m₁,m₂) вероятность того, что событие А наступило не менее m₁ и не более m₂ раз в n испытаниях. Тогда

Дата добавления: 2015-11-16