Гипергеометрическое распределение

Пример 7.

Из урны, в которой n₁ белых и n -n₁ чёрных шаров, наудачу, без возвращения вынимают k шаров, k<n. Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из k шаров равно возможно. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно k₁ белых и k - k₁ чёрных шаров.

Заметим, что при k₁ > n₁ или k - k₁ > n - n₁ искомая вероятность равна 0, так как соответствующее событие невозможно. Пусть k₁ < n₁ и k - k₁ < n - n₁. Результатом эксперимента является набор из k шаров. При этом можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров.

1. Выбор без учета порядка. Общее число элементарных исходов есть число k –элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, то есть (по теореме 3).

Обозначим через A событие, вероятность которого требуется найти. Событию A благоприятствует появление любого набора, содержащего k₁ белых шаров и k - k₁ черных.

Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать k₁ белых шаров из n₁ и числа способов выбрать k - k₁ черных шаров из n - n₁:

Вероятность события A равна:

2. Выбор с учетом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить n элементов на k местах (по теореме 2).

При подсчете числа благоприятных исходов нужно учесть, как число способов выбрать нужное число шаров, так и число способов расположить эти шары среди k. Можно, скажем, посчитать число способов выбрать k₁ мест среди k (равное ), затем число способов разместить на этих k₁ местах n₁ белых шаров (равное — не забывайте про учет порядка!), и затем число способов разместить на оставшихся k - k₁ местах n - n₁ черных шаров (равное ). Перемножив эти числа, получим:

В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k₁ белых и k-k₁ черных шаров вероятность получить этот набор при выборе k шаров из урны, содержащей n₁ белых и n-n₁ черных шаров:

Определение 8. Соответствие или следующий набор вероятностей

Называется гипергеометрическим распределением.

Дата добавления: 2015-11-16