Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей

3.1 σ -алгебра событий

Пусть Ω — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые подмножества Ω, а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» Ψ. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество Ψ подмножеств Ω было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов Ψ) снова давало событие (то есть элемент Ψ).

Определение 10. Множество Ψ, состоящее из подмножеств множества Ω, (не обязательно всех!) называется σ - алгеброй событий, или σ – алгеброй подмножеств Ω, если выполнены следующие условия:

(A1) Ω Î Ψ (σ -алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2) если , то (вместе с любым событием σ -алгебра содержит противоположное событие);

(A3) если А₁, А₂… Î Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их объединение).

Условия (A1)–(A3) часто называют «аксиомами σ - алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества Ψ относительно других операций над событиями.

Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что Ψ не пусто, т.е. содержит хоть один элемент.

Свойство 1. Æ Î Ψ (σ -алгебра событий содержит невозможное событие).

Доказательство. По (A1), Ω Î Ψ, но Æ = Ω/ Ω = Ω Î Ψ в силу (A2).

Свойство 2. При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)

(A4) если А₁, А₂… Î Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их пересечение).

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1),(A2) из (A3) следует (A4).

Если А₁, А₂… Î Ψ, то при всех i = 1, 2,… по свойству (A2) выполнено

Тогда из (A3) следует, что

и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит Ψ, то есть

Но, в силу формул двойственности,

Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.

Свойство 3. Если А, В Î Ψ, то А\ В Î Ψ

Пример 12. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}— пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств Ω являются σ -алгебрами (доказать!):

1. Ψ = { Ω, Æ } ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},Æ }— тривиальная σ -алгебра.

2. Ψ = { Ω, Æ,{1},{1}} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},Æ,{1},{2, 3, 4, 5, 6} }.

3. Ψ = { Ω, A,A} ={ {1, 2, 3, 4, 5, 6},Æ, A,A }., где A — произвольное подмножество Ω (в предыдущем примере A ={1}).

Итак, мы определили специальный класс Ψ подмножеств пространства элементарных исходов Ω, названный σ -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из Ψ снова дает множество из Ψ (не выводит за рамки этого класса). Множества А Î Ψ мы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на σ -алгебре Ψ подмножеств Ω.

Дата добавления: 2015-11-16