Наиболее вероятное число успехов

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в n испытаниях» имеет вероятность qⁿ, 1 успех — вероятность n p qⁿ и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум P (v_n=k)?

Чтобы выяснить это, сравним отношение P (v_n=k)и P (v_n=k-1)с единицей.

Видим, что

(a) Р(v_n = k) > Р(v_n = k-1) при np + p – k > 0, то есть при k < np + p;

(b) Р(v_n = k) < Р(v_n = k-1) при np + p – k < 0, то есть при k > np + p;

(c) Р(v_n = k) = Р(v_n = k-1 при np + p – k = 0, что возможно лишь если np + p — целое число.

Рассмотрим два случая: np + p –целое число и np + p – дробное число. В первом случае пусть k₀ = np + p. Из полученных выше неравенств, сразу следует, что

Во втором случае пусть k₀ = [ np + p ] (целая часть числа np + p, то есть наибольшее целое число, не превосходящее np + p). Из неравенств (a), (b) следует, что

Действительно, неравенство Р(v_n = k₀) > Р(v_n = k₀+1), например, следует из (b), примененного для

k = k₀+1 > np + p.

Видим, что в зависимости от того, является число 1 > np + p целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k₀ = np + p и k₀ –1 > np + p - 1,либо одно «наиболее вероятное» число успехов k₀ = [ np + p ].

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема 12. В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является

a) единственное число k₀ = [ np + p ], если число np + p не целое;

б) два числа k₀ = np + p и k₀ -1= np + p -1, если число np + p целое.

Пример 19. Если p = q = 1/2, то при четном числе испытаний n число np + p = n/2 + 1 /2 — не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [ n/2 + 1 /2 ] = n/2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей — получить 0, 1, …n успехов, причем вероятности получить k и n-k успехов одинаковы.

При нечетном же числе испытаний n число np + p = n/2 + 1 /2 — целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов n/2 + 1 /2 и n/2 - 1 /2.

Дата добавления: 2015-11-16