Читайте также:
|
Пример 26. Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют стандартное нормальное распределение. Докажем, что их сумма имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 2.
Доказательство. По формуле свертки, плотность суммы равна
Выделим полный квадрат по u в показателе экспоненты:
Тогда
Последнее равенство верно поскольку под интегралом стоит плотность нормального распределения с параметрами 0 и 
, так что интеграл по всей прямой равен 1. Итак, мы получили, что плотность суммы есть плотность нормального распределения с параметрами 0 и 2.
Если сумма двух независимых случайных величин из одного и того же распределения (возможно, с разными параметрами) имеет такое же распределение, говорят, что это распределение устойчиво относительно суммирования.
В следующих утверждениях, перечислены практически все устойчивые распределения.
Лемма 3. Пусть случайные величины ξ Î П λ и ηÎ П μ независимы. Тогда ξ+ η Î П λ+μ
Лемма 4. Пусть случайные величины ξ Î B n,p и ξ Î B m,p независимы. Тогда ξ+ η Î B m+n,p
Лемма 5. Пусть случайные величины 
и 
независимы. Тогда 
Показательное распределение не устойчиво по суммированию, однако его можно считать частным случаем гамма-распределения, которое уже в некотором смысле устойчиво относительно суммирования.
Определение 37. Случайная величина ξ имеет гамма-распределение Гα,λ с параметрами α > 0, λ > 0, если она имеет плотность распределения
где постоянная c вычисляется из условия
Заметим, что показательное распределение Е α есть гамма-распределение Г α,1.
Лемма 6. Пусть независимые случайные величины ξ1, …, ξn имеют показательное распределение Е α = Г α,1 Тогда ξ1 +…+ ξn Î Г α,n
«Случайных величин без мат. ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина мы всегда в праве от нее что-нибудь ожидать.»
Из студенческой контрольной работы.
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 86 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Функции от двух случайных величин | | | Математическое ожидание случайной величины |