Обоснование педагогических условий успешного обучения младших школьников делению с остатком.

Читайте также:

В данном параграфе теоретически обоснованы педагогические условия успешного обучения младших школьников делению с остатком.

Остановимся на таких понятиях как «условие» и «педагогические условия». В научной литературе имеются различные подходы к их определению. Так, в толковом словаре русского языка С.И.Ожегова условие – это обстоятельство, от которого что-нибудь зависит. Требовательность к себе – условие успеха; требование, предъявляемое одной из договаривающихся сторон; правила, установленные в какой-нибудь области жизни, деятельности; обстановка, в которой происходит, осуществляется что-нибудь [29, с. 389]. Условие – философская категория, выражающая отношение предмета к окружающим его явлениям, без которых он существовать не может. Сам предмет выступает как нечто обусловленное, а условие – как относительно внешнее предмету многообразие объективного мира. В отличие от причины, непосредственно порождающей то или иное явление или процесс, условие составляет ту среду, обстановку, в которой последние возникают, существуют и развиваются. Люди, познав законы природы, могут создать благоприятные и устранять неблагоприятные условия своей деятельности. Влияя на явления и процессы, условия сами подвергаются их воздействию[39, с.451].

Уточним, что мы понимаем под «педагогическими условиями».

В педагогике под педагогическими условиями понимается совокупность объективных возможностей содержания, форм, методов, педагогических приемов и материально-пространственной среды, направленных на достижение поставленной цели. Можно предположить, что «педагогические условия» – это создание таких обстоятельств и такой обстановки, при которых обучение младших школьников делению с остатком будет успешным.

Аналитический обзор методической литературы, теоретико-экспериментальные исследования по обозначенной нами проблеме позволили выделить следующие педагогические условия:

‑ на уроках математики необходимо осуществлять подготовительную работу к изучению деления с остатком;

‑ использовать упражнения в игровой и занимательной форме.

Одной из основных тем программы по математике является умножение и деление в пределах 100. Эта тема включает ряд вопросов теории, на основе которой изучаются табличное умножение и деление, внетабличное умножение и деление, деление с остатком и особые случаи умножения и деления (с единицей и нулем).

К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых), например: 8 •2, 6•3, 5•4 [40].

Соответствующие этим примерам случаи деления тоже называют табличными, например: 16:2, 18:6.

К внетабличным случаям относят умножение и деление в пределах 100 двузначного числа на однозначное, умножение однозначного на двузначное, а также деление двузначного числа на двузначное, например: 12 • 3, 36:3, 36: 12 [40].

К особым случаям относят умножение и деление с числом нуль, а также умножение и деление на 1.

В результате изучения умножения и деления в пределах 100 учащиеся должны усвоить определенный объем теоретических знаний: понятия о действиях умножения и деления, связь между компонентами и результатами действий умножения и деления, некоторые свойства действий; знать наизусть таблицу умножения и соответствующие случаи деления, усвоить ряд вычислительных приемов.

В методике работы над этой темой предусматривается такой порядок введения названных вопросов. Сначала раскрываются соответствующие вопросы теории, и на их основе изучается табличное умножение и деление. В это же время изучаются приемы умножения и деления с числом 10. Затем раскрываются некоторые вопросы теории, и на их основе изучается внетабличное умножение и деление, а также деление с остатком. Особые случаи умножения и деления рассматриваются при изучении как табличного умножения и деления, так и внетабличного [1].

Рассмотрим, как осуществляется подготовка детей к изучению табличных случаев умножения и деления (в том числе и деления с остатком).

Подготовительная работа в I классе связана с реализацией и расшифровкой следующего пункта программы для этого класса: «Нахождение суммы одинаковых слагаемых и представление числа в виде суммы одинаковых слагаемых» [1].

Соответствующие упражнения предусмотрены учебником, начиная с рассмотрения первых таблиц сложения и вычитания в пределах 10. Дети учатся присчитывать (прибавлять) по 2 к данному числу и отсчитывать по 2 от данного числа (вычитать несколько раз по 2). В связи с этим специальное внимание уделяется усвоению рядов чисел, которые при этом получаются (1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10). Аналогично по ходу рассмотрения новых случаев сложения и вычитания рассматриваются случаи прибавления (вычитания) по 3, по 4 и т. д. Работа в этом направлении продолжается в течение всего первого учебного года, а в конце его специально рассматриваются примеры и задачи, связанные с нахождением суммы одинаковых слагаемых. Причем здесь уже ставится цель — научить детей понимать выражения «по стольку-то взять столько-то раз». Внимание детей каждый раз обращается на то, что слагаемые одинаковы, каждый раз выясняется, сколько таких слагаемых, чему равна их сумма. При решении текстовых задач, сопровождаемых каждый раз иллюстрацией, ставятся те же вопросы. Задачи эти по своей формулировке совершенно аналогичны тем, которые во II классе будут решаться умножением, но пока дети решают их с помощью нахождения суммы нескольких одинаковых слагаемых. Это прямая подготовка к рассмотрению умножения.

Для подготовки к изучению деления в I классе предусмотрены практические упражнения, в ходе которых дети, оперируя множествами предметов, фактически решают задачи на деление на равные части и деление «по содержанию». Иллюстрации учебника дают возможность решать такие задачи, как обратные задачам на нахождение суммы одинаковых слагаемых. Эту связь полезно проследить уже в 1 классе, предлагая детям составить по рисунку, который иллюстрирует деление, задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых.

Именно с описанных упражнений начинается систематическая работа по ознакомлению детей с действиями умножения и деления во II классе. Ознакомлению учащихся со смыслом этих действий, некоторыми их свойствами, существующей между ними связью, взаимосвязью между компонентами и результатами этих действий посвящается около 30 уроков по теме. Рассмотрение этих и некоторых других вопросов теории предшествует составлению и систематическому изучению самих таблиц.

Это специфическая особенность изучения умножения и деления [1].

Табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления учащиеся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить два основных этапа. Первый этап связан с составлением таблиц, второй – с их усвоением, т. е. с прочным запоминанием [1].

Так как в современной начальной школе речь идет о формировании сознательных вычислительных навыков, то составление таблиц умножения (деления) предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приемов, которыми учащиеся будут пользоваться при составлении этих таблиц

В число таких вопросов входят: смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых, переместительное свойство умножения, взаимосвязь компонентов и результата умножения, смысл деления. Однако последовательность составления таблиц и организация деятельности учащихся, направленной на их усвоение, может быть различной.

Например, в учебнике «Математика 2» М.И.Моро учащиеся сначала изучали все теоретические вопросы и только после этого приступали к составлению таблиц умножения и деления. Таблица умножения и деления с числом 2 составлялась на одном уроке и имела такой вид:

2 · 2 2 · 3 2 · 4 …. 2 · 9

3 · 2 4 · 2 5 · 2 … 9 · 2

6: 2 8: 2 10: 2 … 18: 2

6: 3 8: 4 10: 5 … 18: 9

При вычислении результатов в первом столбике произведение заменялось суммой слагаемых или использовалось предыдущее равенство. Вычисляя значения выражений второго столбика, дети использовали переместительное свойство умножения. Результаты третьего и четвертого столбиков находились с помощью правила: если значение произведения разделить на один множитель, то получится другой множитель.

Составление таких таблиц не вызывало у детей затруднение, тем более, одни и те же действия многократно повторялись.

Одновременное составление четырех столбиков равенств, которые учащиеся должны усвоить на уровне навыка, обусловливается следующим.

1. Предполагается, что усвоение первого столбика таблицы на уровне навыка способствует запоминанию второго, третьего и четвертого столбиков. Так, запомнив, например, что 2 · 4 = 8, учащиеся легко найдут значение выражения 4 · 2, применив перемести тельное свойство умножения. А при нахождении значений выражений 8: 2 и 8: 4 они смогут опять же использовать знание случая 2 · 4 = 8, применив к нему правило о взаимосвязи компонентов и результатов умножения.

Аналогичный подход осуществлялся при составлении таблиц умножения и деления с числом 3 в связи с тем, что случай 3 · 2 уже рассматривался, таблица умножения трех начинается с произведения, в котором одинаковые множители:

3 · 3 3 · 4 3 · 5 … 3 · 9

4 · 3 5 · 3 6 · 3 … 9 · 3

12: 3 15: 3 … … 27: 3

12: 4 15: 5 … … 27: 9

Таким образом, количество случаев в каждой следующей таблице сокращается, и последняя таблица умножения девяти содержит один случай: 9 · 9 = 81, 81: 9 = 9

2. Предполагается, что такое составление таблиц умножения и деления позволяет учащимся лучше осознать взаимосвязь между этими действиями. Однако, несмотря на указанные преимущества данного подхода, учащиеся испытывают большие трудности при усвоении на уровне навыка второго столбика таблицы, не говоря уже о третьем и четвертом. Это можно объяснить различными причинами.

Во-первых, не все дети в силу своих индивидуальных особенностей, могут за отведенное программой время усвоить непроизвольно на уровне навыка первый столбик таблицы. Это, естественно, создает трудности для усвоения второго, третьего и четвертого столбиков.

Во-вторых, не все дети могут в свернутом виде (т. е. на уровне навыка) выполнить операции, которые связаны с применением переместительного свойства умножения и правила о взаимосвязи множителей и произведения. В-третьих, не все дети могут осознать взаимосвязь между составленными таблицами. Например, таблица умножения (деления) с числом 9 содержит один случай: 9 · 9 (81: 9), а случай 9 · 8 имеет место в предшествующей таблице, 9 · 7 в таблице умножения (деления) с числом 7 и т. д., случай 9 · 2 в таблице умножения (деления) с числом 2.

Наконец, в-четвертых, каждая таблица умножения (деления) особенно для чисел 2, 3, 4 имеет большой объем, поэтому установка на запоминание всех столбиков каждой таблицы также оказывается неэффективной.

Задача методики математики – найти такие способы организации деятельности учащихся, которые позволили бы учесть или устранить названные трудности, создав тем самым необходимые дидактические условия для эффективного формирования табличных навыков умножения и деления.

В последующие годы в учебник М.И.Моро были внесены изменения в составление таблицы умножения (деления) с числом 2. А именно: после усвоения смысла умножения стала составляться только одна таблица - умножение числа 2 [28].

Затем дети знакомятся с переместительным свойством умножения, и составляют таблицу умножения на 2. На усвоение этих двух столбиков отводится определенное время. В этот период учащиеся рассматривают такие вопросы как смысл деления, взаимосвязь множителей и произведения, решают задачи и только после этого составляют третий и четвертый столбики таблицы деления. Для этой цели используется таблица умножения и правило о взаимосвязи произведения и множителей.

Таким образом, усвоение таблицы умножения (деления) с числом 2 распределяется во времени. Тем самым создаются более благоприятные условия для формирования вычислительных навыков.

В учебнике М.И.Моро наблюдается тенденция к распределению во времени процесса составления и усвоения таблиц умножения и деления. А именно: после усвоения смысла умножения как сложения одинаковых слагаемых составляется только часть таблицы «Умножения числа 2», при этом дано указание «Вычисли и запомни: 2 · 2, 2 · 3, 2 · 4, 2 · 5» [28].

Вторая часть таблицы умножения двух составляется на другом уроке.

Аналогично организуется работа с таблицей «Умножения числа 3» с тем же указанием: «Вычисли и запомни».

После изучения переместительного свойства умножения составляется таблица «Умножение на 2», затем «Умножение на 3» [28].

Не секрет, что хорошее знание таблицы ‑ основа формирования вычислительных навыков. Учителя тратят много сил для того, чтобы все дети овладели ими. Но часто проблему заучивания таблиц сводят к механическому их запоминанию. Психологами доказано, что такое запоминание ‑ не самый лучший способ усвоения материала. Больший эффект достигается, во-первых, если человек понимает, зачем ему нужны эти знания, и, во-вторых, если используется особое запоминание, а также различные мнемические приемы.

В большинстве случаев сегодня при изучении таблицы умножения первый вопрос и не ставится. Учитель понимает, что эти знания и навыки – основа для изучения многозначных чисел. Ученик же этого не знает, потому и не имеет большого желания учить таблицу. Поэтому при изучении табличного умножения необходима подготовительная работа, направленная на мотивировку необходимости изучения этого материала, а также помогающая в его усвоении.

При составлении табличных случаев умножения используются различные приемы. Рассмотрим некоторые из них.

1. Прием, в основе которого лежит определение умножения.

Первый вариант. Чтобы найти произведение 8 · 2, заменим его суммой одинаковых слагаемых: 8 · 2 = 8 + 8. Так как 8 + 8 = 16, то 8 · 2 = 16

Другой вариант. Требуется вычислить произведение 6 · 9. Легко запомнить, что 6 · 8 = 48, тогда 6 · 9 = 6 · 8 + 6 = 48 + 6 = 54

Третий вариант. Требуется вычислить произведение 6 · 9. Легко запомнить, что 6 · 10 = 60, тогда 6 · 9 = 6 · 10 – 6 = 60 – 6 = 54

11. Прием, в основе которого лежит перечислительное свойство умножения

Требуется найти произведение 8 · 6 Легко запомнить 6 · 8 = 48, значит 8 · 6 =48

111. Прием, в основе которого лежит распределительное свойство умножения

Требуется найти произведение 8 · 7. Легко запомнить, что 8 · 5 =40 и 8 · 2 = 16. Тогда 8 · 7 = 8 · 5 + 8 · 2 = 40 + 16 = 56

Другой пример. Нужно найти произведение 9 · 7. Легко запомнить, что 9 · 2 =18 и 9 · 5 =45. Тогда 9 · 7 = 9 · 5 + 9 · 2 = 45 + 18 = 63

1У. Прием, в основе которого лежит сочетательное свойство умножения.

Требуется найти произведение 9 · 4. Легко запомнить, что 9 · 2 = 18. Тогда, 9· 4 = 9 · 2 · 2 = 18· 2 = 36

Для того чтобы ученик мог воспользоваться указанными приемами при усвоении таблицы умножения, необходимо, чтобы он:

‑ владел рациональными приемами сложения и вычитания двухзначных чисел,

‑ осознанно усвоил конкретный смысл умножения,

‑ осознанно усвоил свойства умножения (не только переместительное по традиционной программе, но также сочетательное и распределительное свойство) [28].

Отсутствие этих умений приводит к тому, что ученик вынужден механически запоминать таблицу, что малоэффективно. Кроме того, психологами доказано, что лучше запоминается не мысль, а действие. Поэтому прежде чем начинать учить таблицу, полезно получить результаты, выполняя разные действия при вычислении одного и того же значения произведения.

Опыт учителей показывает, что можно построить изучение этого материала с учетом возможностей каждого ученика, т. е. предложить такие задания, которые каждый ученик сможет выполнить на своем уровне и в то же время усвоить теоретические знания.

Большую роль в усвоении таблицы умножения играет понимание учениками конкретного смысла умножения. Важно на этом этапе работать не только с однозначными числами, но чаще использовать двузначные числа. Такие задания можно найти в учебниках и в методической литературе. Наряду с заданиями:

Вычислите:15 · 5, 16 · 4, 35·3

Полезно предложить и такие:

Известно, что 14·3=42. Найдите 14·4.

Известно, что 18·5=90. Найдите 18·4.

Известно, что 15 + 15 + 15=45. Найдите 15 ·4

Известно, что 12·3=36 и 12·4=48. Найдите 12·7.

Известно, что 13·7=91 и 13·2=26. Найдите 13·5.

Упражнения такого типа можно составить в соответствии с возможностями учеников. Например, более сильным детям можно предложить следующие задания:

1) Известно, что а·8=40. Найдите а·9, а·7.

Решение:

а · 9 = а + а + а + а + а + а + а + а + а

а · 8 + а = 40 + а

а · 7 = а · 8 – а = 40 – а

2) Известно, что а + а = 18. Найдите а ·6, а · 7

Решение:

а · 6 = а + а + а + а + а + а = 18 + 18 + 18 = 54

а · 7 = а + а + а + а + а + а + а = 54 + а

3) Известно, что а + а + а = М. Найдите а · 9 а · 8

Решение:

а · 9 = а + а + а + а + а + а + а + а + а = М + М + М = М · 3

а · 8 = а + а + а + а + а + а + а + а = М + М + а + а = М · 2 + а · 2 или

а · 8 = а + а + а + а + а + а + а + а + а – а = М + М + М – а = М · 3 - а

После этого дети знакомятся с переместительным свойством умножения. Можно предложить более трудные задания:

Известно, что а · 8 = 96. Найдите 9 · а, 7 · а

Решение:

9 · а = а · 9 = а + а + а + а + а + а + а + а + а = а · 8 + а = 96 + а

7 · а = а · 7 = а + а + а + а + а + а + а + а – а = а · 8 – а = 96 - а

После введения операции умножения полезно несколько изменить прядок изучения темы.

Опыт учителей показывает, что для лучшего запоминания таблиц можно предложить следующую последовательность изучения материала:

‑ знакомство с умножением числа на 1, 0, 10,

‑ знакомство со свойствами умножения,

‑ знакомство с приемом письменного умножения двузначного числа на однозначное,

‑ составление таблицы умножения.

Такая последовательность изучения материала позволит подготовить осмысленное запоминание таблицы умножения. Но что более важно, ученик убедится в том, что:

‑ способ нахождения произведений на основе конкретного смысла умножения не всегда удобен;

‑ для того чтобы воспользоваться приемом письменного умножения, требуется умение умножать однозначное число.

Такая последовательность изучения материала дает возможность показать ученику, что он будет иметь с того, что будет знать таблицу умножения, делает требование учителя мотивированным.

Для успешного обучения младших школьников умножению и делению, можно использовать упражнения в игровой и занимательной форме – это второе условие успешного обучения младших школьников делению с остатком.

На уроке можно использовать следующие упражнения в игровой и занимательной форме [7, 8, 9, 15, 24, 33, 42].

Игра «Угадай число»

Цель игры: проверить уровень сформированности вычислительного навыка табличных случаев деления чисел в пределах 100

Содержание игры.

Учитель предлагает детям нужное число. Кто правильно подберет его, получит приз.

При делении нескольких чисел на одно и то же число получились остатки: 9, 1, 2, 3, 4, 5. Как ты думаешь, на какое число производили деление?

Упражнение «Числовые горизонтали с пустыми клетками»