С остатком. В данном параграфе рассмотрены понятия «декартово произведение множеств А и В»

В данном параграфе рассмотрены понятия «декартово произведение множеств А и В», «декартово умножение множеств», «картеж», разобран теоретико-множественный смысл умножения и деления.

В методической литературе приводится немало примеров того, как грамотно построить работу на уроках математики при изучении табличных случаев умножения и деления. Прежде чем перейти к рассмотрению различных подходов к организации такого процесса, целесообразно рассмотреть теоретическую основу данного вопроса с математических позиций.

Именно знание теоретико-множественного смысла – один из залогов успешного обучения детей и освоения учителем различных методических концепций.

В начальных классах учащиеся решают такую задачу: используя цифры 1, 2, 3 нужно образовать всевозможные двузначные числа. Путем перебора дети получают:

Запись каждого полученного числа состоит из 2 цифр, причем существенен порядок их следования: например, из цифр 1 и 2 образовано 2 разных числа 12 и 21.

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче мы имеем дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и в, принято обозначать (а, в), причем элемент а называют первой компонентой пары, а элемент в – второй компонентой этой пары.

Пары (ав) и (сd) равны только в том случае, если а=с и в=d

В упорядоченной паре может быть, что а=в. Так числа 11, 22, 33 можно рассматривать как упорядоченные пары (1, 1), (2, 2), (3, 3)

Вернемся еще раз к задаче, рассмотренной выше. В ней мы, по существу, оперировали множеством {1, 2, 3}, из элементов которого образовали всевозможные упорядоченные пары.

Можно образовать упорядоченные пары из элементов двух различных множеств. Например, возьмем множества А = {1, 2, 3 } и В = {3, 5} и образуем всевозможные упорядоченные пары так, что первая компонента выбирается из множества А, а вторая компонента из множества В.

Получим множество: { (1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5) }. В данную задачу, носящую формальный характер, можно вложить конкретный смысл – образовать всевозможные двузначные числа так, что цифра десятков выбирается из цифр 1, 2, 3, а цифра единиц – из 3 или 5.

В процессе решения задачи из двух данных множеств А и В образовано новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В. Декартовым произведением множеств А и В называют множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В [36].

Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В.

Операцию, при помощи которой находят декартово произведение, называют декартовым умножением множеств [36].

Декартово умножение не обладает переместительным свойством, т. е. существуют такие множества А и В, что А х В ¹ В х А. Чтобы убедиться в этом, достаточно образовать декартовы произведения А х В и В х А для таких множеств:

А = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Множество А х В получено нами раньше, а множество В х А будет таким: {(3, 1), (3, 2) (3, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3) }. Нетрудно увидеть, что А х В ¹ В х А, т.к. множество А х В и В х А состоят из различных элементов.

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех элементов. Такие упорядоченные наборы называют картежами. Так, картеж (1, 5, 6) - картеж длины 3 (т.е. в нем три элемента), а (6, 7, 8, 9, 4, 3) - картеж длины 6 [37].

Декартовым произведением множеств А1, А2…, Ап называют множество картежей, образованных так, что первая компонента картежа принадлежит множеству А1, вторая множеству А2, …, п множеству Ап.

Обозначают декартово произведение множеств А1, А2…, Ап так: А1 х А2х … х Ап

Найдем декартово произведение множеств А1, А2, А3, если А1 = {2, 3}, А2 = { 3, 4, 5}, А3 = {7, 8},

Элементами декартова произведения А1 х А2х А3 будут картежи, образованные так: первая компонента будет выбираться из множества А1, вторая из множества А2, третья – из множества А3. В итоге получим: А1 х А2х А3 = {(2, 3, 7), (2, 2, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7), (2, 5, 8), (3, 3, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8) }

Рассмотрим теоретико-множественный смысл умножения

Для Ұ а, b € N 0 произведением а х b называется число, удовлетворяющее следующему условию:

1) а х b = а+а + а+....+ а + а, если b > 1;

в слагаемых

2) а х b = а, если b = 1;

3) а х b = О, если b = О.

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множественную трактовку:

а х b (b > 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

а x b = n (Ai ﮞ А₂ ﮞ... ﮞ А_ь), eсли n (Ai) = n (А₂)=... = п (А_ь) = а и Аi, А₂,... А_ь попарно не пересекаются.

Таким образом, умножение натуральных чисел, как действие нахождения произведения, связано с объединением равночисленных, попарно непересекающихся множеств [41].

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся множеств позволяет обосновать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается умножением.

В задаче идет речь о трех множествах, в каждом из которых по 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении трех этих множеств.

Если п (Аi = п (А₂) = п (А₃) = 4, то n (Ai ﮞ А₂ ﮞ А₃) = n (Ai) + п (А₂) + п (А₃) = 4+4+4=4 x 3.

Так как 4 х 3 = 12, то получаем ответ на вопрос задачи: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Случаи а х 1=а и ах0 = 0 принимаются по определению.

Рассмотрим теоретико-множественный смысл деления.

Если а = п (А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b - число элементов в каждом подмножестве, то частное а: b - это число таких подмножеств;

b - число подмножеств, то частное а: b - число элементов в каждом подмножестве (47).

Взаимосвязь деления натуральных чисел, как действия нахождения частного, с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида:

«12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?»

В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножеств. Требуется узнать число элементов в каждом подмножестве. Это число, как установлено выше, можно найти при помощи деления – 12: 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи — в каждой коробке по 4 карандаша.

Если дана задача: «В коробке 12 карандашей, их надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится?», то выбор действия можно обосновать следующим образом. Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления - 12: 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи - понадобится 4 коробки.

Итак, рассмотрев теоретико-множественный смысл каждого арифметического действия, можно сделать следующий вывод. Действия над целыми неотрицательными числами связаны с операциями над множествами: сложение чисел — с объединением конечных непересекающихся множеств; вычитание чисел - с дополнением (разностью) множеств; умножение чисел — с объединением попарно непересекающихся множеств; деление чисел - с разбиением множеств на попарно непересекающиеся подмножества.

Дата добавления: 2015-10-16