Проверьте

Сдающая напрокат автомобили компания вычисляет экспоненциальный прогноз числа автомобилей, которое потребуется в следующий день для каждого из 11 следующих друг за другом дней. Распечатка результатов этого прогноза показана ниже, но, к сожалению, принтер испортил бумагу и некоторые из статей отсутствуют.

			Абсолютная ошибка	Квадратическая ошибка
		120,00	5,00	25,00
		119,50	9,50	90,25
		117,50	18,50	342,25
		115,65	18,65	347,82
		113,79	15,79	249,32
		112,21	7,21	51,98
		111,14	1,14	1,30
		111,03	0,03	0,00
	Итого:	Итого: 1231,40

(i) Какое значение сглаживающей константы, , было использовано?

(ii) Вычислите прогнозы для дня 4 и для дня 9. Сделайте прогноз количества машин, которое необходимо в день 12.

(iii) Вставьте недостающие значения абсолютной ошибки и квадратической ошибки в соответствующие столбцы (до 2 знаков после запятой), и вычислите значение MSE и MAE.

Решение:

(i) Нам известно, что , из чего следует, что , и для этого примера, . Решаем это для , получаем .

(ii) Нам необходимо , поэтому . Подобным образом, . .

(iii) Отсутствующие абсолютные ошибки: 10,55 и 3,49, а отсутствующие квадратические ошибки равны 111,30 и 12,18. Общая абсолютная ошибка, поэтому, равна 89,86, поэтому: , тогда как общая квадратическая ошибка равна 1231,05, поэтому . На практике, прогнозы и ошибки можно было бы вычислить более чем до 2 знаков после запятой для большей точности.

Выбор сглаживающей константы α

Как мы говорили ранее, критерии, подобные MSE и MAE, можно использовать, чтобы выбрать «лучшее» значение сглаживающей константы . MSE(или MAE) вычисляется для прогнозирования будущих значений временных рядов.

В Таблице 9.2 показаны значения данных о корме для кошек с соответствующими абсолютной и квадратической ошибками, с использованием сглаживающих констант , и .

Последняя строка Таблицы 9.2 показывает суммы столбцов абсолютной ошибки и квадратической ошибки. Следовательно, (как уже было вычислено), если .

,

если .

и если .

.

Следовательно, используя критерий MSE., сглаживающая константа даёт лучший прогноз.

Соответствующие значения MAE таковы:

Таблица 9.2. Абсолютная и квадратическая ошибки экспоненциальных прогнозов данных о кошачьей еде

		Абсол. ошиб.	Квадр. ошиб.		Абсол ошиб..	Квадр. ошиб.		Абсол. ошиб.	Квадр. ошиб
	67,00	9,00	81,00	67,00	9.00	81,00	67,00	9,00	81,00
	68,80	14,20	201,64	69,70	13,30	176,89	70,60	12,40	153,76
	71,64	6,36	40,45	73,69	4,31	18,58	75,56	2,44	5,95
	72,91	4,91	24,11	74,98	6,98	48,73	76,54	8,54	72,93
	71,93	12,93	167,18	72,89	13,89	192,93	73,12	14,12	199,37
	69,34	0,34	0,12	68,72	0,28	0,08	67,47	1,53	2,34
	69,27	0,73	0,53	68,80	1,20	1,44	68,08	1,92	3,69
	69,42	11,42	130,42	69,16	11,16	124,55	68,85	10,85	117,72
	67,14	1,86	3,46	65,81	3,19	10,18	64,51	4,49	20,16
	67,51	7,49	56,10	66,77	8,23	67,73	66,31	8,69	75,52
	69,01	0,01	0,00	69,24	0,24	0,06	69,79	0,79	0,62
	69,01	2,99	8,94	69,17	2,83	8,01	69,47	2,53	6,40
	69,61	11,39	129,73	70,02	10,98	120,56	70,48	10,52	110,67
	71,89	0,89	0,79	73,31	2,31	5,34	74,69	3,69	13,62
	71,71			72,62			73,21
Итого		84,52	844,47		87,90	856,07		91,51	863,75

. и , соответственно,

Поэтому, критерий MАE согласуется с MSE, что , производит лучшие прогнозы в этом наборе данных, хотя это не обязательно всегда должно быть верно.

В целом, критерий MSE является наиболее широко используемым критерием для оценки прогнозов.

Дата добавления: 2015-10-13