Прохождение звука через плоский слой

При косом падении звука (под углом θ1 из среды I (рис.) с постоянными р1 и c1 на слой жидкости или газа с постоянными р2 и с2 (среда II) и толщиной d, за которым лежит снова бесконечная среда I, отраженные волны возникают как на первой, так и на второй границе; проходящая волна будет только одна — прямая.

В соответствии с этим намечается следующая схема решения задачи. Потенциал скоростей в первой среде (слева от слоя) выразится суммой двух членов (см. первое уравнение (3,14)), а во второй среде — аналогичной формулой, в которую вместо a1 и b1, войдут величины а2 = k2 соs θ2 и b2 = k2 соs θ2. На первой границе (х = 0) и на второй (х =d) должны выполняться условия непрерывности звукового давления и скорости частиц, которые дают 4 уравнения для определения относительных потенциалов скоростей отраженной волны A' / A, проходящей через слой A2 / A1, и двух (прямой и отраженной) волн во второй среде. Решая эти уравнения, можно найти коэффициент отражения (rp) и проникновения (tp) волны давления (через слой):

При δ=1, что соответствует условию (3,20), мы получим при некотором угле падения полное проникновение волн через слой без всякого отражения. Кроме того, полное проникновение будет наблюдаться при соблюдении условия сtga2d=∞, из которого следует:

Для очень тонкого слоя (или для длинных волн) при а2d <1 и не слишком больших или малых величинах δ получим:

Таким образом, при заданном угле падения, а следовательно, при заданных θ2 и b отражение от тонкого слоя прямо пропорционально частоте. Анализ выражения (3,24) показывает, что при углах падения θ1 больших критического (а2 мнимое), уже не происходит полное внутреннее отражение на слое, как это имеет место на границе полупространства. Волны во второй среде, бегущие параллельно передней границе слоя, на задней границе будут иметь известную амплитуду, величина которой при достаточно малых толщинах слоя d или при углах падения, близких к критическому, может быть достаточно велика. Таким образом, вдоль второй (задней) границы будут двигаться волны сжатия и разрежения, что неизбежно вызовет возмущения в среде за слоем и приведет к возникновению проходящей волны во второй среде. Нетрудно показать, что в очень тонком слое почти вся энергия будет проходить через него даже при углах, больших критического. При углах падения, близких к 90°, волны во второй среде очень сильно ослабевают уже при проникновении на глубину одной волны. Отсюда ясно, что при скользящем падении на слой, толщина которого больше λ, получится очень малое проникновение звука через слой, т. е. почти полное отражение.

При падении под углом 0° формулы (3,24) и (3,25) примут вид:

При очень тонком слое или при очень низких частотах (к2d<1) и большом акустическом сопротивлении второй среды (R2 > R1)

где М2 = р2d —масса слоя на 1 см². Отношение энергии падающей волны к энергии волны прошедшей (коэффициент звукоизоляции слоя) будет приближенно равно:

Можно представить себе следующую электроакустическую аналогию для данного случая. Напряжение А1 включается в цепь, содержащую последовательное соединение индуктивного сопротивления wM2 и активного сопротивления 2R1. Сила тока (скорость) в цепи будет равна а падение напряжения на сопротивлении 2R1 будет Отношение полной мощности цепи к мощности, расходуемой на сопротивлении 2R1(коэффициент звукоизоляции), равно (A1 / A2)², что приводит к формуле (3,27).
При нормальном падении мы вправе применить формулы (3, 26) и (3,27) к твердой стенке, например к некоторой монолитной перегородке. При прохождении звука через перегородки, находящиеся в воздухе, всегда и потому

Для воздуха р1c1 = 41 и η≈1/170 M2²f². Звукоизоляция перегородки в децибелах будет равна:

Эта формула подобна известному в архитектурной акустике „весовому закону" звукоизоляции. Для тонкой кирпичной стены (d=10см) с весом 200 кг/м² (или 20 г/см²) при 1024 гц получится звукоизоляция 64 дб. Полученная из опыта звукоизоляция равна 58 дб, т. е. -меньше в 4 раза. Следует учесть, что указанный опыт соответствует условиям не нормального, а диффузного (по всем возможным направлениям) падения. Расхождение объясняется еще и тем, что перегородка, закрепленная по некоторому контуру, ведет себя как диафрагма, способная изгибаться. Такая диафрагма передает звук также посредством изгибных колебаний, помимо волн сжатий и разрежений, которые учитываются формулами (3, 26) и (3, 27). Особенно сильно это сказывается на низких частотах.
Интересен случай прохождения звука из жидкости через слой твердого тела снова в жидкость. Рассмотрим нормальное падение звука из воды на железную пластину толщиной d= 1 cм и переход его снова в воду. В этом случае

Для частот, меньших 2000 гц, первый член будет значительно меньше единицы η ≈ 1, т. е. звукоизоляция практически отсутствует; вся энергия проходит через железную пластину. При частоте
f ≈ 6000 гц, η ≈ 2, а при частоте f ≈ 125 000 гц (k2d= π /2) звукоизоляция достигает максимального значения, равного η ≈179 (22,5 дб). При f ≈ 250000 гц (k2d = π, d = λ2 / 2) звукоизоляция снова равна единице. Вообще максимумы η будут получаться при f ≈ 125000 • (2n + 1) гц, а минимумы, равные единице, при f ≈ 125000 • (2n)гц (рис.).
Для слоя с акустическим сопротивлением R2, значительно меньшим, чем R1, например воздуха или губчатой резины (R2 ≈ 40), между двумя слоями жидкости или твердого тела, из формулы (3, 26) получим коэффициент звукоизоляции:

Для воздушной прослойки в воде R1 / 2R2 = 1,83 * 10³. При очень
низких частотах или очень тонких слоях, когда k2d < (2R2 / R1), первый член будет мал по сравнению со вторым, близким к единице и η≈1. С увеличением частоты η резко возрастает и при условии k2d = π / 2, достигнет величины (1,83-10³)² (около 65 дб), затем начнет уменьшаться и при k2d = π, (d = λ2 / 2) будет равен единице. Ход изменения η аналогичен изображенному на рис.. При низких частотах, когда k2d < 1 коэффициент звукоизоляции можно представить в виде:

Электроакустическая аналогия в этом случае формально выразится параллельным соединением упругого сопротивления v=sd — объем слоя, соответствующий площади S)

и активного сопротивления где R1— акустическое сопротивление среды за промежуточным слоем). Отношение токов (скоростей) в этих ветвяхбудет равно Абсолютная вели-чина отношения полного тока |q1|, протекающего через параллельное соединение R2 / 2 и zv к току будет равна

Величина скорости |qv + q2| определяется давлением на входе, которое пропорционально амплитуде потенциала скоростей (А1) в падающей волне, а величина |q2| пропорциональна амплитуде (A2) волны, проходящей за слой. Коэффициент звукоизоляции, равный (A1 / A2)², определится тогда из выражения (3,28).

При Zv < (Rs / 2) движение замыкается почти целиком на упругую
прослойку и η становится велико; при Zv > (Rs / 2) (что может быть при очень тонкой прослойке или при соблюдении условия k2d = πn) сопротивление Rs / 2 „шунтируется" большим сопротивлением и скорость q2 становится почти равной скорости q1 что приводит к отсутствию звукоизоляции слоя η ≈ 1).
Отметим, что в данном случае электрическая аналогия выражается „параллельным" соединением сопротивлений слоя и среды, хотя геометрически они стоят последовательно друг с другом; для слоя, имеющего R2 > R1 мы имели аналогию в форме последовательного соединения.

Дата добавления: 2015-09-05