Вывод уравнения прямой

ДЦасБ-1-1

Типовой расчет

по линейной алгебре и аналитической геометрии

Выполнила: Алпатова М. В.

Проверил: Старинец В.В.

Москва 2012

Теоритические вопросы

Формула расстояния между двумя точками

Пусть A и B -- две точки плоскости, координаты которых в декартовой системе координат: (x1; y1) и (x2; y2 ), тогда Указанная формула, по существу, является теоремой Пифагора, записанной в координатной форме. В самом деле, пусть A 1 и B 1 -- соответственно проекции точек A и B на ось абсцисс, M -- проекция A на прямую BB 1. Имеем: AB -- гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами AM и BM. но AM = A 1 B 1 = | x 2 - x 1 |. Тоно так же BM = | y 2 - y 1 |. Следовательно, AB ^2 = AM ^2 + BM ^2 = (x 2 - x 1) ^2 + (y 2 - y 1) ^2 и формула доказана.

Форумула для нахождения кооординат точки, делящей отрезок в данном отношении

Вывод уравнения прямой

Прямую можно задать различными способами. Уравнение

y = kx + b

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Любая прямая, не перпендикулярная оси OX, может быть определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс, задается уравнением x = x ₀. Отметим, что вертикальная прямая не является графиком функции.

Итак, уравнением y = kx + b можно описать не любую прямую. Этого недостатка нет у так называемого общего уравнения прямой

a x + b y = c (a ² + b ² ≠ 0).

Если b = 0, то – получаем уравнение вертикальной прямой. Если же b ≠ 0, то Таким образом, угловой коэффициент прямой в этой системе обозначений задается как

График 2.1.3.2. Угловой коэффициент прямой k = arctg α.

Зафиксируем на графике линейной функции точку A (x ₀; y ₀). Пусть B (x; y) – произвольная точка графика. Из треугольника ABC легко увидеть, что Уравнение

y = y ₀ + k (x – x ₀)

называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.

Зафиксируем теперь на графике линейной функции две точки: A (x ₁; y ₁) и B (x ₂; y ₂). Из треугольника ABC следует, что Таким образом, уравнение

задает прямую, проходящую через две заданные точки.

График 2.1.3.3. Уравнение прямой в отрезках на осях  

Вернемся теперь снова к общему уравнению прямой a x + b y = c, где a · b · c ≠ 0. Его можно преобразовать к виду Это уравнение пересекает координатные оси в точках (p; 0) и (0; q). в чем легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнение прямой. Полученное уравнение называется уравнением прямой в отрезках:

3.

---

Дата добавления: 2015-08-21