Властивості сніжинки Коха

Властивість 1. Крива K (див. означення) є самоподібною кривою із розмірністю самоподібності [13:62].

Доведення. Якщо взяти копію K, зменшену в три рази, то усю множину K можна скласти з чотирьох таких копій. Отже, крива K є самоподібною із розмірністю самоподібності . Доведено.

Властивість 2. Сніжинка Коха має нескінченну довжину.

Доведення. Досить показати, що кожний з трьох фракталів K, отриманих ітераціями (рис. 2.1), має нескінченну довжину. Нехай вихідний відрізок має одиничну довжину. Тоді довжина кривої рівна . Довжина кривої рівна . Продовжуючи таким чином маємо, що крива після n-го кроку має довжину . Отже, довжина граничної кривої K рівна нескінченності: . А це і доводить, що сніжинка Коха має нескінченну довжину [8:19]. Доведено.

Властивість 3. Частина площини, яку обмежує сніжинка Коха, має площу , де a – довжина сторони початкового рівностороннього трикутника.

Доведення. Нехай – площа початкового рівностороннього трикутника (нульовий крок), на першому кроці до нього добудовуємо три трикутники, площа кожного з яких рівна (бо сторона зменшилася в три рази). Отже, площа фігури, утвореної на першому кроці . На другому кроці додається ще трикутники, площа кожного з яких дорівнює . Отже, площа фігури, одержаної на другому кроці буде . На третьому кроці додаємо ще трикутники, площа кожного з яких дорівнює і загальна площа фігури після трьох кроків побудови буде , . На n-ому кроці до побудованої фігури добудуємо трикутники, площа кожного з яких , загальна площа фігури після n кроків побудови буде . Спрямувавши кількість кроків до нескінченності одержимо площу частини площини, обмеженої сніжинкою Коха. , де a - довжина сторони початкового рівностороннього трикутника. Отже, . Доведено.

Властивість 4. Точки і , що ділять відрізок на три рівні частини, належать сніжинці Коха (рис. 2.4)[3].

Доведення. Проведемо , . Доведемо, що точки і співпадають. Згідно означення сніжинки Коха .

Трикутник подібний трикутнику за двома кутами. Отже, , , таким чином, , , . Отже, точки і співпадають. Доведемо, що точка належить сніжинці Коха. Для цього покажемо, що . З подібності трикутників і маємо . Отже . Ми одержали, що трикутник рівнобедрений із кутом , бо . Отже, трикутник рівносторонній. Таким чином , а це і доводить, що точка належить сніжинці Коха. Аналогічно доводиться, що точка належить сніжинці Коха. Доведено.

Наслідок. До сніжинки Коха можна приєднати шість сніжинок Коха, які подібні до початкової з коефіцієнтом подібності , так, що кожна точка початкової сніжинки Коха належить принаймні одній з приєднаних сніжинок [3].

Властивість 5. Крива К неперервна і не має дотичної в жодній своїй точці [28].

Дата добавления: 2015-08-21