Класичні фрактали

Магістерська робота

зі спеціальності: 8.080101 – математика

денна форма навчання

математичний факультет

Науковий керівник –

кандидат фізико-математичних наук, доцент Атамась В. В.

Черкаси – 2008

ЗМІСТ

Вступ………………………………………………………………………....5

Розділ 1. Множина Кантора………………………………………………...8

1.1. Фрактал Кантора………………………………………………..8

1.1.1. Побудова та властивості…………………………………...8

1.1.2. Чортова драбина…………………………………………..15

1.1.3. Канторівські числа………………………………………..17

1.1.4. Векторна (арифметична) сума множин Кантора………..18

1.1.5. Визначення розмірності множини С ……………………..19

1.2. Теорема про множини, гомеоморфні множині Кантора……22

1.2.1. Неперервні відображення та інваріанти неперервності...22

1.2.2. Топологічні інваріанти……………………………………26

1.2.3. Основна теорема…………………………………………..27

1.3. Застосування множин, гомеоморфних множині Кантора….28

1.4. Завдання………………………………………………………..31

Розділ 2. Сніжинка Коха………………………………………………......33

2.1. Означення сніжинки Коха…………………………….…..….33

2.2. Властивості сніжинки Коха…………………………………..35

2.3. Острівець Коха та його властивості………………………....37

2.4. Мавпяче дерево……………………………………………….41

2.5. Узагальнення сніжинки Коха………………………………...44

2.5.1. Означення зірки зірок…………………………………….44

2.5.2. Властивості зірки зірок………………………………..…45

2.5.3. Новий клас зірок………………………………………….46

2.5.4. Віночок……………………………………………………47

2.6. Дослідження аналогів зірки Коха у тривимірному

просторі……………………………………………………….49

2.6.1. Модель циліндричного виду……………………………..49

2.6.2. Модель конічного виду…………………………………...52

2.6.3. Брунькова модель……………………………………..…..54

2.6.4. Каркас брунькової моделі…………………………….…..59

2.7. Кубічне узагальнення сніжинки Коха…………………….…60

2.8. Завдання…………………………………………………….…66

Розділ 3. Килим Серпінського……………………………………………68

3.1. Килим та цвинтар Серпінського………………………….….68

3.1.1. Килим Серпінського……………………………………...68

3.1.2. Цвинтар Серпінського……………………………………69

3.2. Двовимірне узагальнення килима Серпінського…………...70

3.3. Аналоги килима Серпінського в тривимірному просторі…72

3.3.1. Фрактальна піна або “Яблуко”…………………………..72

3.3.2. Губка Менгера…………………………………………….73

3.3.3. Об’ємний пил Кантора…………………………………...75

3.4. Тривимірні узагальнення килима Серпінського……………76

3.5. Чотиривимірні аналоги килима Серпінського……………...79

3.5.1. Чотиривимірне яблуко……………………………………79

3.5.2. Чотиривимірна губка Менгера…………………………...80

3.5.3. Чотиривимірний аналог пилу Кантора…………………..82

3.5.4. Чотиривимірний пил Кантора……………………………83

3.5.5. Порівняльна характеристика……………………………..84

3.6. Трикутний килим Серпінського, його властивості та

способи задання………………………………………………85

3.6.1. Площа……………………………………………………...86

3.6.2. Крива Серпінського………………………………………87

3.6.3. Аналітичні способи задання……………………………..88

3.6.4. Самоподібність трикутного килима Серпінського……..93

3.7. Узагальнення серветки Серпінського……………………….94

3.7.1. Описовий спосіб задання………………………………...95

3.7.2. Аналітичний спосіб задання……………………………..95

3.8. Завдання……………………………………………………….95

Розділ 4. Крива Пеано…………………………………………………….97

4.1. Побудова кривої Пеано………………………………………97

4.2. Відомі різновиди та узагальнення кривої Пеано………….104

4.3. Узагальнення кривої Пеано на чотиривимірний та

п’ятивимірний простори……………………………………110

4.3.1. Узагальнення на чотиривимірний простір………….…110

4.3.2. Узагальнення на п’ятивимірний простір………………112

4.3.3. Узагальнення на п -вимірний простір…………………..113

4.4. Завдання……………………………………………………...115

Глосарій…………………………………………………………………...116

Висновки……………………………………………………………….…125

Список використаних джерел…………………………………………...126

Додаток А…………………………………………………………………129

Додаток Б…………………………………………………………………140

ВСТУП

До недавнього часу геометричні моделі різних природних конструкцій традиційно будувалися на основі порівняно простих геометричних фігур: прямих, многокутників, кіл, многогранників, сфер. Проте очевидно, що цей класичний набір, цілком достатній для опису елементарних структур, стає погано застосовним для характеристики таких складних об'єктів, як контур берегових ліній материків, поле швидкостей в турбулентному потоці рідини, розряд блискавки в повітрі, контури дерева, кровоносно-судинна система людини та і ін. В останні 15 – 20 років для опису цих і подібних до них утворень вчені все частіше використовують нові геометричні поняття.

Одним з таких понять, котре змінило багато традиційних уявлень про геометрію, стало поняття “фрактал”, яке було введено в обіг французьким математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 році.

Основою фрактальної геометрії стала ідея самоподібності. Вона виражає собою той факт, що ієрархічний принцип організації фрактальних структур не зазнає значних змін при розгляді їх через мікроскоп з різним збільшенням. В результаті ці структури при малих масштабах виглядають в середньому так, як і при великих.

Саме дослідження множин такого типу, їх властивостей та взаємозв’язків з іншими фрактальними об’єктами, зокрема дослідження зв’язку між деякими фрактальними об’єктами та сніжинкою Коха, а також перевірка, вдосконалення, класифікація та систематизація результатів досліджень кількох поколінь студентів математичного факультету Черкаського національного університету імені Богдана Хмельницького з теми “Фрактали” і становило мету магістерської роботи. В даній роботі використано та опрацьовано результати праць Бенуа Мандельброта [13], Божокіна С. В. [4], Річарда Кроновера [8], Працьовитого М. В. [20], Маляренка А. А. [12], Гельга фон Коха [28] та інших видатних математиків, а також результати досліджень випускників Борщова В. П. [5], Грищенко Л. С. [6], Кулик С. В. [9], Ляпуна Р. П. [10], Мороз І. В. [14], Нечипоренка С.В. [16], Нечипоренко Т. М. [17], Плаксій Т. Д. [18], Попляєвої К. М. [19], Терлиги Ю. В. [22], Уткіної А. С. [24], Яковлєвої О. П. [26].

Завданням магістерської роботи є створення посібника “Класичні фрактали” для використання викладачами і студентами при викладанні та вивченні курсу “Множини зі складною локальною структурою”, а також опрацювання літератури з даної теми.

Магістерська робота складається з чотирьох розділів: “Множина Кантора”, “Сніжинка Коха”, “Килим Серпінського”, “Крива Пеано”, глосарію, висновків і додатків.

В кожному розділі подано означення, властивості, способи побудови, аналоги відповідного фрактала в n -вимірному просторі (n 2) та їх класифікація, а також завдання для перевірки, закріплення і вдосконалення знань з даної теми. В глосарії подано основні теоретичні та практичні відомості необхідні для розуміння і засвоєння матеріалу, викладеного в посібнику.

Науковою новизною одержаних результатів є: доведення теореми про існування кривої, яка проходить через усі точки острівця Коха, що раніше не опубліковувалося; побудова ряду фракталів, що є “родичами” сніжинки Коха, про існування яких раніше не повідомлялось.

Практичним значенням одержаних результатів є те, що використання наведених алгоритмів, способів та методів побудови вже відомих фракталів дає змогу створювати та будувати все нові і нові фрактальні об’єкти, а також більше дізнатись про давно відомі класичні фрактали.

В даній магістерській роботі частково використано матеріал, який вже було опубліковано. Зокрема, зірці Коха було присвячено ряд публікацій. Не так давно в світ вийшла стаття Маляренка А. А. [12], в якій подано аналітичне задання цього об’єкту; в статті Атамася В. В. і Нечипоренка С. В. [3] побудовано узагальнення зірки Коха назване зіркою зірок; в статті Атамася В. В. та Ігнатюк О. В. [2] побудовано ряд “родичів” сніжинки Коха та доведено теорему про існування кривої, яка проходить через усі точки острівця Коха.

РОЗДІЛ 1

Дата добавления: 2015-08-21