Будущая стоимость простых аннуитетов

В некоторых случаях инвестор при вложении своего капитала через определенные промежутки времени может получать определенные суммы в виде равных по величине денежных потоков. Если денежные потоки поступают (вкладывают) равными сумами через равные промежутки времени, то они называются аннуитетами. Аннуитет, по условиям которого выплата или получение очередного платежа осуществляются в конце каждого периода, называются простыми аннуитетами или аннуитетами постнумерандо. В наших дальнейших расчетах мы будем использовать простые аннуитеты.

Пример 1.7. Инвестор при инвестировании определенной суммы денег ожидает получать ежегодно в течение 5 лет денежный поток в размере 50 000 руб. При получении этой суммы инвестор планирует реинвестировать ее под 8% в год. Тогда встает вопрос: а какова будет будущая стоимость аннуитетов, получаемых инвестором в течение 5 лет?

Через год инвестор получит 50 000 руб. и реинвестирует их сроком на 4 года под 8% в год. Следовательно, будущая стоимость этих 50 000 руб. составит:

FV₄ = 50 000 × (1+0,08)⁴ = 50 000 × 1,3605 = 68 025 руб.

Через два года инвестор вновь получает 50 000 руб. и реинвестирует их уже сроком на три года, и будущая стоимость этой суммы будет равна:

FV₃ = 50 000 × (1+0,08)³ = 50 000 × 1,2597 = 62 985 руб.

Через три года инвестор вновь получает 50 000 руб. и реинвестирует их уже сроком на два года, и будущая стоимость этой суммы будет равна:

FV₂ = 50 000 × (1+0,08)² = 50 000 × 1,1664= 58 320 руб.

Через четыре года инвестор вновь получает 50 000 руб. и реинвестирует их уже сроком на один год, и будущая стоимость этой суммы будет равна:

FV₁ = 50 000 × (1+0,08) = 50 000 × 1,08 = 54 000 руб.

Через пять лет инвестор получает последний денежный поток в размере FV₀ = 50 000 руб. и не реинвестирует их.

Таким образом, будущая стоимость всех денежных потоков (FV_Σ), полученных инвестором за пять лет, будет равна:

FV_Σ = 68 025 + 62 985 + 58 320 + 54 000 + 50 000 = 293 330 руб.

Полученная сумма включает пять ежегодных платежей по 50 000 руб. в размере 250 000 руб. и процентные платежи от реинвестирования ежегодных денежных потоков под 8% в год в сумме 43 330 руб. (293 330 - 250 000).

В рассмотренном примере мы определяли будущую стоимость денежного потока для каждого года его получения, а затем полученные результаты суммировали. Такой алгоритм определения будущей стоимости всех аннуитетов не удобен. Поэтому в практике расчета будущей стоимости простых аннуитетов применяется следующая формула:

а) аннуитеты выплачивают (получают) один раз в год:

FV = А× ((1 + i) - 1) ^T / i), руб ., (1.3)

где А – величина ежегодного аннуитета, руб.;

i – годовая процентная ставка реинвестирования аннуитета, доли ед.;

Т – период, в течение которого выплачивают (получают) аннуитеты, лет.

б) аннуитеты выплачивают (получают) m раз в год:

FV = (А/m)×((1 + r) -1) ⁿ / r, руб ., (1.4)

где m – количество платежей в виде аннуитета в год;

r = i/m – процентная ставка реинвестирования аннуитета, доли ед. за период;

n = Т×m – число периодов, в течение которых выплачивают (получают) аннуитеты.

Пример 1.8. Рассмотрим вновь данные примера 1.7. В этом случае исходные данные представим в виде: А = 50 000 руб.; i = 0,08; Т = 5 лет.

Будущую стоимость аннуитетов определим по формуле 1.3:

FV = А ×((1 +i)-1) ^T / i) = 50 000 × ((1 + 0,08)⁵ – 1)/0,08 = 293 330 руб.

А теперь определим будущую стоимость аннуитетов, выплачиваемых m раз в год.

Пример 1.9. Вернемся к примеру 1.8. и предположим, что платежи в виде аннуитетов выплачиваются каждое полугодие. Следовательно, процентные платежи при реинвестировании аннуитетов начисляются два раза в год. В этом случае число периодов выплаты аннуитетов (n) будет равно 10 (5×2), а r = i/m = 0,08/2 = 0,04. Подставим наши данные в формулу (1.4), и будущая стоимость аннуитетов будет равна:

FV = (А/m)×((1 + r) -1) ⁿ / r = (50 000/2)×((1 + 0,04)¹⁰ -1) / 0,04 =300 153 руб.

Пример 1.10. Инвестор купил облигацию по номинальной цене, которая равна 1,0 млн. руб. Купонные платежи производятся один раз в год по процентной ставке 10%, которые реинвестируются под 7% в год. Срок обращения облигации 8 лет. Определить будущую стоимость денежных потоков, генерируемых этой облигацией за весь срок обращения.

Задано: P_N = 1 000 000 руб.; g = 0,1; i = 0,07; T = 8.

Определяем ежегодный купонный доход, получаемый инвестором в течение 8 лет:

СР = P_N × g = 1 000 000 × 0,1 = 100 000 руб.

Таким образом, к концу восьмого года инвестор получит:

· 8 купонных платежей, которые в сумме будут равны 8×100 000 = 800 000 руб.

· доход от реинвестиции купонных платежей;

· по истечении 8 лет номинальную стоимость облигации 1 000 000 руб.

1. Определим по формуле 1.3 сумму дохода инвестора, включающую купонные платежи и процентные платежи при инвестировании купонного дохода:

FV = А×((1+i) -1)^T / i = 100 000×((1+0,07)⁸ -1)/0,07=100 000×10,2598 =1 025 980 руб.

2. Следовательно, доход от реинвестирования купонных платежей (RI) будет равен:

RI = 1 025 980 – 800 000 = 225 980 руб.

3. Номинальная стоимость облигации – 1 000 000 руб.

Общая сумма платежей (E_Total), полученная инвестором в течение 8 лет равна:

E_Total = 800 000 + 225 980 + 1 000 000 = 2 025 980 руб.

Пример 1.11. Обратимся к данным примера 1.10 и предположим, что купонные платежи по облигации выплачиваются каждые шесть месяцев, а все остальные данные оставим без изменения. Необходимо определить будущую стоимость всех платежей, получаемой инвестором в течение срока обращения облигации.

Задано: P_N = 1 000 000 руб.; g = 0,1; i = 0,07; T = 8; m = 2; r = i/m = 0,07/2 = 0,035.

1. Определяем количество периодов, в течение которых эмитент выплачивает держателю облигации купонные платежи:

n = T×m = 8×2 = 16.

2. Определяем купонный доход, получаемый инвестором каждые 6 месяцев в течение 8 лет:

СР = P_N ×g/2 = 1 000 000 × 0,1/2 = 50 000 руб.

Таким образом, к концу восьмого года инвестор получит:

· 16 купонных платежей, которые в сумме будут равны 16×50 000 = 800 000 руб.

· доход от реинвестиции купонных платежей;

· по истечении 8 лет номинальную стоимость облигации 1 000 000 руб.

3. Определим по формуле 1.4 сумму дохода инвестора, включающую купонные платежи и процентные платежи при инвестировании купонного дохода:

FV = А×((1+r) -1)ⁿ / r = 50 000×((1+0,035)¹⁶-1)/0,035 = 50 000×20,971 = 1 048 550 руб.

4. Следовательно, доход от реинвестирования купонных платежей (RI) будет равен:

RI = 1 048 550 – 800 000 = 248 550 руб.

5. Номинальная стоимость облигации – 1 000 000 руб.

Общая сумма платежей (E_Total), полученная инвестором в течение 8 лет, равна:

E_Total = 800 000 + 248 550 + 1 000 000 = 2 048 550руб.

Полученные результаты указывают, что при увеличении частоты получения купонных платежей держатель облигации получит большую сумму в период до срока погашения облигации.

Резюме

Будущая стоимость купонных доходов по облигации зависит от номинальной стоимости и срока обращения облигации, ставки купонного дохода, количества выплат купонного дохода в течение года и ставки рефинансирования купонных платежей.

Дата добавления: 2015-08-13