Числовые характеристики.

1. Функция распределения вероятностей случайной величины. (интегральная функция распределения).

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

F(x)=P(X<x)

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция». Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины:

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно- дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства интегральной функции распределения.

Свойство 1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

0£F(x)£1

Свойство 2. Функция F(х) есть неубывающая функция, т.е.

F(x₂)³F(x₁), если x₂ >x₁

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а,b), равна приращению интегральной функции на этом интервале: .

Следствие 2.Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значение, например х₁, равна нулю:

Р(Х=х₁)=0

Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а,b), то

F(x)=0 при x£а

F(x)=1 при x³b

Решение задач:

Задача 1. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

Х
Р	0,3	0,1	0,6

Найти интегральную функцию распределения F(x) и начертить ее график.

Решение:

1. Если х£1, то F(x)=0 (третье свойство). Действительно, значений, меньших числа 1, величина Х не принимает. Следовательно, при x£1, функция

F(x)=P(X<x)=0.

2. Если 1<x£4, то F(x)=0,3. Действительно, Х может принять значение 1 с вероятностью 0,3.

3. Если 4<x£8, то F(x)=0,4. Действительно, если х₁ удовлетворяет неравенству 4<x₁£8,то F(x₁) равно вероятности события Х<x₁,которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Так как эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х<x₁ равна сумме вероятностей 0,3+0,1=0,4.

4. Если х>8, то F(x)=1.

Действительно, события Х£8 достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Значит, искомая интегральная функция имеет вид:

Построим график этой функции:

Задача 2. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (2,3)

Решение: Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (а,в), равно приращению интегральной функции в этом интервале:

Р(a<X<b)=F(b)-F(a)

У нас a=2,b=3, тогда:

Задача 3. Случайная величина Х задана интегральной функцией

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75).

Решение:

1. Найдем вероятность того, что Х примет значение заключенное в интервале (0,25;0,75)

2. Найдем вероятность, что в четырех испытаниях Х ровно три раза примет значение принадлежащее (0,25;0,75):

§5. Дифференциальная функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

(плотность вероятности)

Дифференциальной функцией распределения вероятностей называют первую производную от

интегральной функции :

Часто вместо термина «дифференциальная функция» используют термин «плотность вероятности». Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение принадлежащее интервалу (а,b) определяется равенством

Зная дифференциальную функцию, можно найти интегральную функцию по формуле: .

Дифференциальная функция (плотность распределения) обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательна, т.е.

f(x)³0

Cвойство 2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от

равен единице:

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b) то

Свойство 3.

Если задана плотность вероятности f(x) непрерывной случайной величины Х, то можно определить ее функцию распределения по формуле:

.

Решение задач.

Задача 1. Задана плотность вероятность случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).

Решение:

Искомую вероятность найдем по формуле

Получим

Задача 2. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение: Функцию распределения найдем по формуле

1. Если х£0, то f(x)=0, следовательно,

2. Если то

3. Если то

Итак, искомая интегральная функция имеет вид:

§6. Числовые характеристики непрерывной

Дата добавления: 2015-08-13