Читайте также:
|
|
Часто на практике возникает задача определения закона распределения случайной величины , являющейся суммой координат случайного вектора
. Если при этом одну из случайных величин интерпретировать как полезный сигнал, а вторую случайную величину как шум, то в приложениях эта задача известна как исследование модели «сигнал + шум».
Применяя формулы (4.8) и (4.9) для функции получаем следующие результаты.
Если - дискретный случайный вектор, принимающий конечное число значений
с вероятностями
,
, то
– дискретная случайная величина и ее возможными значениями
,
, являются различные среди значений
. Вероятности значений
определяются по формуле:
,
(4.10)
(при этом предполагается, что вероятность , если
ни при каком j, и аналогично вероятность
, если
ни при каком i).
Если - непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей
, то случайная величина
является непрерывной и функция распределения
случайной величины
имеет вид:
а, после расстановки пределов интегрирования по области ,
.
Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:
(4.11)
(в точках непрерывности плотностей вероятностей ,
и
).
Если дополнительно известно, что координаты случайного вектора являются независимыми случайными величинами, то:
· случайная величина является дискретной, если
и
- дискретные случайные величины, и имеет закон распределения, определяемый в соответствии с (4.10) вероятностями:
,
. (4.12)
· случайная величина является непрерывной, если
и
- непрерывные случайные величины, и имеет в соответствии с (4.11) плотность вероятностей:
, (4.13)
где и
- плотности вероятностей случайных величин
и
соответственно;
· случайная величина является непрерывной, если
- дискретная случайная величина, а
- непрерывная случайная величина, и имеет плотность вероятностей:
, (4.14)
где и
,
- значения случайной величины
и соответствующие им вероятности, а
- плотность вероятностей случайной величины
.
Получается данный результат комбинированием дискретного и непрерывного случаев. Вначале находится функция распределения непрерывной случайной величины с учетом независимости случайных величин
и
:
,
а затем дифференцированием по
получаем для плотности вероятностей
выражение (4.14).
Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин по закону распределения слагаемых в теории вероятностей называется задачей композиции законов распределения, а в функциональном анализе – сверткой функций. По этой причине формулу (4.13) кратко можно записать в виде (где
означает операцию свертки), а интегралы в ней называют интегралами свертки.
Замечание. Все результаты, полученные для двумерного случайного вектора, без труда обобщаются и на многомерный случай.
Пример. Пусть ,
и случайные величины
и
независимы. Найти плотность вероятностей случайной величины
.
Решение. Для простоты положим (общий случай рассмотреть самостоятельно). Тогда, в соответствии с интегралом свертки (4.13), имеем:
(при этом был использован тот факт, что - интеграл Пуассона)
Таким образом, случайная величина .
В общем случае, когда , случайная величина
.
По индукции можно доказать, что если случайные величины независимы (в совокупности) и
, то их любая линейная комбинация также имеет нормальный закон распределения:
.
Дата добавления: 2015-08-10; просмотров: 278 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Функции от случайных векторов | | | Неравенство Чебышева |