Композиция (свертка) законов распределения

Часто на практике возникает задача определения закона распределения случайной величины , являющейся суммой координат случайного вектора . Если при этом одну из случайных величин интерпретировать как полезный сигнал, а вторую случайную величину как шум, то в приложениях эта задача известна как исследование модели «сигнал + шум».

Применяя формулы (4.8) и (4.9) для функции получаем следующие результаты.

Если - дискретный случайный вектор, принимающий конечное число значений с вероятностями , , то – дискретная случайная величина и ее возможными значениями , , являются различные среди значений . Вероятности значений определяются по формуле:

, (4.10)

(при этом предполагается, что вероятность , если ни при каком j, и аналогично вероятность , если ни при каком i).

Если - непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей , то случайная величина является непрерывной и функция распределения случайной величины имеет вид:

а, после расстановки пределов интегрирования по области ,

.

Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:

(4.11)

(в точках непрерывности плотностей вероятностей , и ).

Если дополнительно известно, что координаты случайного вектора являются независимыми случайными величинами, то:

· случайная величина является дискретной, если и - дискретные случайные величины, и имеет закон распределения, определяемый в соответствии с (4.10) вероятностями:

, . (4.12)

· случайная величина является непрерывной, если и - непрерывные случайные величины, и имеет в соответствии с (4.11) плотность вероятностей:

, (4.13)

где и - плотности вероятностей случайных величин и соответственно;

· случайная величина является непрерывной, если - дискретная случайная величина, а - непрерывная случайная величина, и имеет плотность вероятностей:

, (4.14)

где и , - значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а - плотность вероятностей случайной величины .

Получается данный результат комбинированием дискретного и непрерывного случаев. Вначале находится функция распределения непрерывной случайной величины с учетом независимости случайных величин и :

,

а затем дифференцированием по получаем для плотности вероятностей выражение (4.14).

Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин по закону распределения слагаемых в теории вероятностей называется задачей композиции законов распределения, а в функциональном анализе – сверткой функций. По этой причине формулу (4.13) кратко можно записать в виде (где означает операцию свертки), а интегралы в ней называют интегралами свертки.

Замечание. Все результаты, полученные для двумерного случайного вектора, без труда обобщаются и на многомерный случай.

Пример. Пусть , и случайные величины и независимы. Найти плотность вероятностей случайной величины .

Решение. Для простоты положим (общий случай рассмотреть самостоятельно). Тогда, в соответствии с интегралом свертки (4.13), имеем:

(при этом был использован тот факт, что - интеграл Пуассона)

Таким образом, случайная величина .

В общем случае, когда , случайная величина .

По индукции можно доказать, что если случайные величины независимы (в совокупности) и , то их любая линейная комбинация также имеет нормальный закон распределения:

.

Дата добавления: 2015-08-10