Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Неравенство Чебышева

Читайте также:
  1. Главная системная ошибка – неравенство
  2. Неравенство
  3. Неравенство доходов и экономические меры социальной поддержки.
  4. Неравенство Коши-Буняковского
  5. Неравенство – такой же хороший закон природы, как и всякий другой» (И. Шерр).
  6. Проблема неравенства доходов. Роль государства в решении проблем, связанных с неравенством доходов

Получим вначале некоторые оценки для распределений случайных величин.

Лемма. Если неотрицательная случайная величина имеет конечное математическое ожидание , то для любого справедливо неравенство:

.

▲ Докажем лемму для непрерывной случайной величины (для дискретной случайной величины доказать самостоятельно). По определению математического ожидания непрерывной случайной величины

,

откуда и следует утверждение леммы ■.

Следствие (неравенство Чебышева). Если случайная величина имеет конечную дисперсию , то для любого справедливы следующие неравенства:

; (4.15)

.

▲ В соответствии с предыдущей леммой

,

что доказывает неравенство (4.15). Неравенство следует из (4.15) путем перехода к противоположному событию ■.

Неравенство Чебышева имеет большое теоретическое и практическое значение. Оно дает простую оценку для вероятности отклонения случайной величины с произвольным законом распределения от ее математического ожидания. Причем, если о случайной величине, кроме ее математического ожидания и дисперсии ничего неизвестно, то эту оценку улучшить нельзя (существует пример случайной величины, для которой в (4.15) достигается равенство). Если же есть дополнительная информация о случайной величине (например, известен ее закон распределения), то оценки (4.15) и могут быть существенно улучшены.

Пример. Пусть случайная величина имеет нормальный закон распределения: . Тогда:

- на основании неравенства Чебышева

;

- в соответствии с «правилом »

,

где - функция Лапласа.


Дата добавления: 2015-08-10; просмотров: 141 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции случайных аргументов | Функции от случайных величин | Функции от случайных векторов | Законы больших чисел | Характеристические функции | Свойства характеристических функций | Дискретные случайные величины. | Непрерывные случайные величины | Характеристические функции случайных векторов | Центральная предельная теорема |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Композиция (свертка) законов распределения| Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)