Неравенство Коши-Буняковского

Доказывается как следствие из следующей теоремы:

Теорема .Пусть – произвольная, не обязательно линейно зависимая система векторов. Тогда детерминант матрицы, составленной из их попарных скалярных произведений,

положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

Первое утверждение следует из предложения 2 (Детерминант матрицы Грама любого базиса положителен), так как линейно независимые векторы составляют базис в своей линейной оболочке.

Докажем второе утверждение. Если векторы линейно зависимы, то выполнено равенство , в котором среди коэффициентов есть отличные от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов. Мы придем к системе линейных уравнений

Которой удовлетворяют коэффициенты . Так как система имеет нетривиальное решение, детерминант её матрицы равен нулю.

Следствие. Для любых двух векторов в евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского

причем оно выполнено как равенство тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

Дата добавления: 2015-08-09