Свойства характеристических функций

. Характеристическая функция любой случайной величины удовлетворяет условиям:

, для любого .

▲ ■.

В частности, из свойства следует, что характеристическая функция существует у любой случайной величины , в то время как просто математическое ожидание существует не всегда.

. Характеристическая функция любой случайной величины обладает свойством:

.

▲ ■.

В частности, из свойства следует, что характеристическая функция случайной величины , имеющей симметричный относительно оси ординат закон распределения, является вещественной (в этом случае и поэтому ).

. Характеристическая функция любой случайной величины является неотрицательно определенной функцией, то есть для любого , для любых и любых комплексных чисел

.

▲ В соответствии с определением характеристической функции имеем:

■.

Замечание. На самом деле справедливо более общее утверждение, известное как теорема Бохнера-Хинчина. Для того, чтобы непрерывная функция , удовлетворяющая условию , была характеристической функцией, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определенной (свойство доказывает эту теорему в одну сторону).

. Для любых вещественных чисел

(преобразование характеристической функции при линейном преобразовании).

▲ Действительно, в соответствии с определением характеристической функции имеем:

■.

. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:

если - независимые случайные величины, а , то

.

Свойство означает, что свертке законов распределения независимых случайных величин соответствует произведение их характеристических функций.

▲ В соответствии со свойствами математического ожидания имеем: ■.

. Если у случайной величины при некотором существует момент порядка , то есть , то характеристическая функция случайной величины раз непрерывно дифференцируема и ее -я производная в нуле связана с моментом порядка соотношением:

.

В частности, , , .

▲ Докажем свойство в непрерывном случае, когда случайная величина имеет плотность вероятностей и ее характеристическая функция

.

(в дискретном случае доказать самостоятельно).

Формальное дифференцирование характеристической функции раз по дает:

,

откуда .

Законность дифференцирования под знаком интеграла определяется тем фактом, что

и существованием момента -го порядка ■.

Замечание. При четном справедливо и обратное утверждение: если характеристическая функция случайной величины имеет производную -го порядка в нуле , то у нее существуют моменты всех порядков до включительно и .

. Если у случайной величины существует момент порядка , то есть , то ее характеристическая функция в окрестности точки разлагается в ряд Тейлора:

.

▲ Свойство следует из свойства и определения ряда Тейлора ■.

(формула обращения).

Если - функция распределения случайной величины , а - ее характеристическая функция, то для любых двух точек , в которых функция распределения является непрерывной, справедливо равенство:

.

▲ Докажем свойство для непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей и абсолютно интегрируемой характеристической функцией : (общий случай см. в учебнике А.А. Боровкова «Теория вероятностей»).

Поскольку в соответствии с (4.23) у непрерывной случайной величины характеристическая функция является преобразованием Фурье от плотности вероятностей :

,

то абсолютная интегрируемость является достаточным условием существования обратного преобразования Фурье, в соответствии с которым

.

Интегрируя обе части последнего равенства по в пределах от до , получаем:

,

что и доказывает формулу обращения в непрерывном случае ■.

Непосредственно из свойства вытекают следующие утверждения.

Следствие 1. Если характеристическая функция некоторой случайной величины абсолютно интегрируема: , то эта случайная величина является непрерывной и ее плотность вероятностей есть обратное преобразование Фурье от характеристической функции:

.

Следствие 2. Абсолютно интегрируемая функция : , удовлетворяющая свойствам и , является характеристической тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье всюду неотрицательно:

для любого .

▲ В этом случае преобразование Фурье , где - плотность вероятностей некоторой непрерывной случайной величины , являющаяся функцией неотрицательной для любого ■.

Замечание. Фактически утверждение следствия 2 позволяет проверять свойство неотрицательной определенности абсолютно интегрируемой функции . Если функция , удовлетворяющая свойствам и , абсолютно интегрируемой не является, но допускает представление в виде ряда Фурье , то она является характеристической функцией (и, следовательно, обладает свойством неотрицательной определенности) дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями .

Следствие 3 (теорема единственности).

Характеристическая функция случайной величины однозначно определяет ее функцию распределения .

▲ Следует из формулы обращения и того, что разности при любых однозначно определяют функцию распределения ■.

Дата добавления: 2015-08-10