Читайте также:
|
|
Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная функция
вещественных переменных, определяемая для любого
равенством:
или в векторной форме
,
где означает скалярное произведение векторов.
Характеристическая функция случайного вектора обладает всеми свойствами (с очевидными изменениями в формулировках) одномерной характеристической функции. Но есть и дополнительные полезные свойства.
По характеристической функции
случайного вектора
можно найти характеристическую функцию любой группы из
его координат
. Для этого следует положить аргументы
при
.
Так, например, характеристическая функция «отрезка» случайного вектора
равна
,
а характеристическая функция любой координаты вектора
равна
.
Если
- характеристическая функция случайного вектора
, то характеристическая функция суммы его координат
равна
,
то есть следует положить все .
Задача 1. Найти характеристическую функцию двумерного нормального случайного вектора .
Ответ: .
Задача 2. Найти характеристическую функцию суммы двумерного нормального случайного вектора
и по ней определить закон распределения случайной величины
.
Ответ: .
Задача 3. Найти характеристическую функцию многомерного нормального случайного вектора .
Ответ: .
Сходимость распределений (слабая сходимость)
Ранее были введены три вида сходимости последовательностей случайных величин: по вероятности, почти наверное и в среднем. Еще один вид сходимости основан на близости законов распределения случайных величин, то есть на сходимости последовательности их функций распределения.
Пусть заданы последовательность случайных величин , имеющих функции распределения
, и случайная величина
с функцией распределения
. Было бы естественно считать, что, если случайная величина
, то ее закон распределения сходится при
к закону распределения случайной величины
. Однако, требовать при этом равномерную сходимость
к
(то есть, чтобы
) в общем случае неразумно, поскольку она никогда не будет иметь места, если функция распределения случайной величины
имеет хотя бы один разрыв. Поэтому сходимость последовательности функций распределения
к функции распределения
понимают в смысле следующего определения.
Определение. Говорят, что последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения
и обозначают
, если
в каждой точке , где предельная функция распределения
является непрерывной.
При этом также говорят, что последовательность случайных величин слабо (или по распределению) сходится к случайной величине
и записывают
(или
) или, что последовательность случайных величин
слабо сходится к распределению
и обозначают
.
Смысл слабой сходимости: это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.
Выделим важный частный случай, когда предельная функция распределения является непрерывной для любого
. При этом
, если
для любого
и, более того, в силу монотонности и ограниченности функций распределения сходимость является равномерной по
:
(подробнее см. учебник Чистякова В.П. «Курс теории вероятностей»).
Замечание. Отметим, что запись не совсем корректна: если предельную случайную величину
заменить на любую другую случайную величину
с тем же законом распределения, то ничего не изменится, в том же смысле и
. Поэтому слабая сходимость все же не есть сходимость последовательности случайных величин и ей нельзя пользоваться как сходимостями по вероятности, почти наверное и в среднем, для которых предельная случайная величина единственна (хотя бы с точностью до значений на множестве нулевой вероятности). По этой причине слабая сходимость и рассматривается отдельно.
Следующее утверждение устанавливает соотношение между слабой сходимостью и сходимостью по вероятности.
Лемма.
1. Из сходимости по вероятности следует слабая сходимость:
если , то
.
2. Если предельное распределение является вырожденным, то сходимость по вероятности и слабая сходимость эквивалентны:
если , то
.
▲ 1. Пусть - точка непрерывности функции распределения
. Требуется доказать, что тогда
. Зафиксируем
такое, что
непрерывна в точках
.
Функцию распределения можно записать в виде:
.
Оценим вероятность сверху и снизу. Для вероятности
имеем:
и вероятность справа может быть выбором сделана сколь угодно малой, поскольку
.
Для вероятности , с одной стороны,
(так как, если , то тем более
).
С другой стороны,
(здесь первое неравенство очевидно, а второе следует из того, что ).
Таким образом, получаем для следующее двойное неравенство:
.
Устремляя теперь , получаем
,
а предельный переход при с учетом того, что
- точка непрерывности
, дает
.
2. Пусть для любого
, являющегося точкой непрерывности предельной функции распределения
, то есть при всех
.
Докажем, что при этом для любого
.
Раскроем модуль под знаком вероятности и выполним ряд преобразований:
,
поскольку в точках и
функция распределения
непрерывна. Окончательно, сходимость
следует из леммы о двух милиционерах ■.
Замечательный факт состоит в том, что слабая сходимость распределений полностью характеризуется с помощью характеристических функций.
Теорема непрерывности (без доказательства).
Пусть - последовательность характеристических функций, а
- последовательность соответствующих функций распределений. Для слабой сходимости
необходимо и достаточно, чтобы
для любого
, где
- характеристическая функция, соответствующая предельной функции распределения
.
Теорема непрерывности устанавливает, что соответствие между функциями распределения и характеристическими функциями является не только взаимнооднозначным (в соответствии с теоремой единственности), но и непрерывным в том смысле, что пределу в классе функций распределения относительно слабой сходимости соответствует предел в классе характеристических функций относительно поточечной сходимости.
Теорема непрерывности является основным средством доказательства центральных предельных теорем (теорем о слабой сходимости распределений на числовой прямой).
Дата добавления: 2015-08-10; просмотров: 346 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Непрерывные случайные величины | | | Центральная предельная теорема |