Функции от случайных величин

Дискретный случай. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностями (случай счетного числа значений случайной величины рассмотреть самостоятельно). Тогда для произвольной неслучайной функции , область определения которой содержит множество возможных значений случайной величины , случайная величина является дискретной и задача состоит в нахождении ее закона распределения.

а) Предположим вначале, что все значения различны (так, в частности, может быть, если функция является монотонной в области возможных значений случайной величины ). Тогда случайная величина будет иметь столько же возможных значений , как и случайная величина , с и при этом

. (4.1)

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

где в соответствии с (4.1) вероятности .

б) Предположим теперь, что среди значений есть совпадающие (это может быть, в частности, если функция не является монотонной в области возможных значений случайной величины ). Тогда случайная величина будет иметь меньше возможных значений, чем случайная величина , и ими являются , , различные среди . При этом вероятности значений определяются по формуле:

, (4.2)

Закон распределения случайной величины в данном случае имеет вид:

где в соответствии с (4.2) вероятности являются суммой вероятностей тех значений , для которых . , .

Пример. Найти закон распределения случайной величины , если случайная величина Х является дискретной и имеет закон распределения

	-2	-1
	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2

Решение. В соответствии с (4.2) закон распределения случайной величины имеет вид:

	0.2	0.4	0.4

Непрерывный случай. Если – непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей , а – дифференцируемая функция в области возможных значений случайной величины Х, то величина является непрерывной случайной величиной и задача состоит в нахождении плотности вероятностей .

Предположим вначале, что - монотонно возрастающая функция в области возможных значений случайной величины Х. Тогда у функции существует однозначная обратная функция и функцию распределения случайной величины можно записать в виде:

.

Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:

. (4.3)

Для монотонно убывающей в области возможных значений случайной величины Х функции

,

а после дифференцирования по обеих частей этого равенства имеем:

. (4.4)

Объединяя полученные в (4.3) и (4.4) результаты, получаем:

Если – непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей , а – монотонная дифференцируемая функция, то случайная величина является непрерывной и ее плотность вероятностей определяется через по формуле:

, (4.5)

где – функция, обратная к функции (отметим, что равенство (4.5) имеет место только в точках непрерывности плотностей вероятностей и ).

Если дифференцируемая функция не является монотонной в области

возможных значений случайной величины , то ее область определения можно разбить на непересекающихся интервалов, на каждом из которых она монотонной будет и будет иметь однозначную обратную функцию . Применяя формулу (4.5) на каждом интервале монотонности, получаем:

. (4.6)

Пример 1. Пусть – непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей , а . Найти плотность вероятностей .

Решение. В данном случае функция является монотонной при любых значениях (при функция возрастает, при - убывает). Функция, обратная к , имеет вид: , а ее производная . Поэтому в соответствии с (4.5)

. (4.7)

а) Рассмотрим линейное преобразование вида над случайной величиной .

В соответствии с (4.7) в этом случае , а с учетом того, что

для плотности вероятностей случайной величины имеем выражение:

Полученный результат схематично можно записать в виде:

и он означает, что из равномерного распределения на отрезке можно получить равномерное распределение на любом отрезке путем линейного преобразования.

б) Рассмотрим линейное преобразование вида над случайной величиной .

В соответствии с (4.7) в этом случае , а с учетом того, что

для плотности вероятностей случайной величины имеем выражение:

.

Полученный результат схематично можно записать в виде:

и он означает, что из стандартного нормального распределения можно получить нормальное распределение с любыми параметрами путем линейного преобразования.

Пример 2. Пусть , а . Найти плотность вероятностей .

Решение. В данном случае функция не является монотонной в области возможных значений случайной величины и имеет два интервала монотонности и . На каждом из интервалов функция имеет однозначную обратную функцию: на первом интервале и - на втором . Поскольку модуль производной , , то в соответствии с (4.6)

,

а с учетом того, что , получаем:

,

при .

Пример 3. Пусть - строго монотонная функция распределения, а случайная величина . Тогда случайная величина имеет заданную функцию распределения .

Решение. Действительно,

.

Последнее равенство следует из того, что функция распределения случайной величины имеет вид:

.

Смысл примера 3. Предположим, что требуется получить значений случайной величины с заданным законом распределения (смоделировать случайную величину ). Для этого в соответствии с примером 3 необходимо найти функцию распределения случайной величины и, если она имеет однозначную обратную функцию, то положить

, ,

где - значения случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке (значения можно получить путем обращения к датчику случайных чисел, входящему в стандартное математическое обеспечение любого персонального компьютера).

Дата добавления: 2015-08-10