Симметрические и возвратные уравнения

Определение: Уравнения вида

, (1)

, (2)

где - фиксированное число и , называются возвратными уравнениями.

При уравнения (1) и (2) являются симметрическими уравнениями соответственно нечетной и четной степеней.

Возвратное уравнение нечетной степени (1) всегда имеет корень , поскольку это уравнение можно переписать в виде

и при выражения в каждой скобке обращаются в нуль.

Для решения возвратного уравнения четной степени поступают следующим образом. Поскольку не корень уравнения (2), то, разделив обе части уравнения на и сгруппировав члены, равноудаленные от концов получим уравнение

^. (3)

Вводим новую переменную , тогда имеем

,

,

,

и т.д., и уравнение (3) запишется в виде алгебраического уравнения степени относительно . Таким образом, мы от уравнения степени перешли к уравнению степени . В школьном курсе алгебры в основном не рассматриваются уравнения степени старше 4. Поэтому ограничимся этим случаем.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. - не является корнем уравнения, так как, . Разделим, уравнение на , получим равносильное ему уравнение

.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

,

.

Введем новую переменную и получим новое уравнение

.

Решив которое, получим два корня и . Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ: ,

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением третьей степени. Поскольку

,

то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Решение первого из этих уравнений есть , второе уравнение решений не имеет.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Рассматриваемое уравнение является возвратным и имеет степень 4. - не корень уравнения, так как Разделим обе части уравнения на

и, преобразовав, получим

.

Введем новую переменную , тогда . Уравнение примет вид

Далее остается решить квадратное уравнение относительно и найти .

Получили два уравнения второй степени, решив которые найдем корни искомого уравнения

, ;

.

Ответ: , .

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Рассматриваемое уравнение является возвратным и имеет степень 4. - не корень уравнения, так как . Потому, разделим обе части уравнения на

,

и, преобразовав, получим

.

Это уравнение является симметрическим. Введем новую переменную , тогда . Уравнение примет вид

Далее остается лишь решить квадратное уравнение относительно и найти из условия .

,

,

Теперь найдем из условия .

, . Это уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Ответ:

Дата добавления: 2015-08-05