Функции и их графики

Глубочайшее заблуждение школьников состоит в том, что график любой функции построить очень просто: надо найти значения функции при нескольких «удобных» значениях х и соединить эти точки плавной линией. Однако, построение графика «по точкам» имеет смысл, лишь если общий вид графика известен. Например, если известно, что графиком является прямая линия, парабола или гипербола. Для построения графиков других функций, требуется провести исследование функции. Одним из пунктов исследования является проверка ее на четность и нечетность, то есть на наличие и особенности симметрии графика.

Определение: Функция называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки 0 (то есть, если точка а принадлежит области определения, то точка также принадлежит области определения);

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Функция называется нечетной, если:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки 0;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство (или ).

Важно отметить, что если область определения функции не симметрична относительно нуля, то из этого немедленно следует, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Определение: Функцию не являющуюся четной или нечетной, называют функцией общего вида.

Поэтому, проверяя функцию на четность и нечетность, увидев, что область определения не симметрична относительно нуля, можно смело утверждать, что мы имеем дело с функций общего вида.

Примеры четных функций:

, , , , , .

Примеры нечетных функций:

, , .

А вот примеры функций, которые не обладают свойствами четности и нечетности:

, , .

Пример 1. Доказать, что функция является четной.

Решение. Решение следует проводить по пунктам соответствующим определению.

1) Эта функция определена, если выполнено неравенство

.

Его решением является отрезок . Это множество симметрично относительно нуля, поэтому функция может быть четной.

2) Поскольку для любого значения х из этого отрезка выполнено равенство

,

то эта функция действительно является четной.

Пример 2. Исследовать на четность функцию .

Решение.

1) Эта функция определена на всей числовой прямой, значит, область определения симметрична относительно нуля.

2) Так как для любого действительного значения переменной х выполнено равенство

,

то эта функция является нечетной.

Пример 3. Является ли четной на отрезке [-1;5] функция ?

Решение. Эта функция является четной на ее области определения. Данный в условии отрезок не симметричен относительно начала координат, поэтому на нем никакая функция не является четной. Первое условие не выполнено.

1) Область определения не симметрична. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Четность и нечетность функции весьма существенно сказывается на форме графика этой функции. Именно, имеют место следующие две теоремы.

Теорема 1. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Доказательство. Пусть точка принадлежит графику четной функции , то есть . Точка, симметричная с точкой относительно оси у, имеет координаты . Надо доказать, что точка принадлежит графику функции , то есть доказать, что . Но это следует из определения четной функции: .

Теорема 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Доказательство. Пусть точка принадлежит графику нечетной функции , то есть . Точка, симметричная с точкой относительно начала координат, имеет координаты . Надо доказать, что точка принадлежит графику функции , то есть доказать, что . Но это следует из определения четной функции: .

Рассмотрим пример задания взятого из варианта ЕГЭ части А.

Пример 4. Укажите график нечетной функции.

	1)		2)		3)		4)
		Рис. 1

Решение. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. На рисунке 2) изображен именно такой график.

Ответ: 2.

Пример 5. Укажите график четной функции (рис. 2)

	1)		2)		3)		4)
		Рис. 2

Решение. График четной функции симметричен относительно оси ординат. На рисунке 4) изображен именно такой график.

Ответ: 4.

Доказательства теорем 1 и 2 элементарны. Однако сам теоретический факт их имеет большое значение. Ведь из этих теорем следует, что для построения графика четной функции достаточно построить часть графика этой функции для , а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно оси у, то есть для каждой точки графика с абсциссой построить точку, симметричную ей относительно оси у. Для построения графика нечетной функции достаточно построить часть графика этой функции для , а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно точки (0;0), то есть для каждой точки графика с абсциссой построить точку, симметричную ей относительно начала координат. (Можно заметить, что для осуществления симметрии некоторой кривой относительно начала координат можно поступить следующим образом: Сначала данную кривую К симметрично отразить относительно оси ординат, а затем полученную кривую К^/ симметрично отразить относительно оси абсцисс (Рис. 3).

В курсе алгебры эти факты используются неоднократно. Их важность прослеживается при работе с графиками функций, построение которых не является элементарным.

Пример 6. Построить график функции .

Решение. Заметив, что эта функция четная, сначала построим часть ее графика при . При этих значениях х мы имеем , и потому искомая часть графика – часть параболы при . Затем, построенную часть графика симметрично

Рис. 4

отражаем относительно оси у (Рис. 4).

Пример 7. Построить график функции .

Решение. Выполним цепочку преобразований графика функций :

→ .

	Рис. 5

Пример 8. Построить график функции .

Решение. Выполним цепочку преобразований графика функций :

→ → → → .

	Рис. 6

Пример 9. Сколько корней имеет уравнение ?

Решение. Для решения уравнения воспользуемся графическим методом.

.

- решение уравнения. При уравнение имеет три корня. (Рис. 7)

	Рис. 7

В силу нечетности обеих частей уравнения при уравнение также имеет три корня. Итого, уравнение имеет 7 корней.

Ответ: 7.

Определение: Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называют обратимой. Если функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает такое значение у, что , то функция g называется обратной функцией к f.

Если задан график обратимой функции f, то график функции g, обратной к f, нетрудно построить, пользуясь следующим утверждением.

Утверждение: Графики функций f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой .

Доказательство: Действительно, пусть принадлежит графику функции , то есть . Тогда , то есть когда аргумент принимает значение , то обратная функция g принимает значение . Но это означает, что точка принадлежит графику обратной функции. Заметим теперь, что точки и симметричны относительно прямой .

Таким образом, если некоторая точка принадлежит графику функции f, то симметричная ей точка принадлежит графику обратной функции g. Аналогично доказывается и обратное: если точка принадлежит графику функции g, то симметричная ей точка принадлежит графику функции f.

Дата добавления: 2015-08-05