Глава I. Симметрия. Симметрия, асимметрия, диссимметрия.

Симметрия - в широком или узком смысле, в зависимости от того, как вы определяете значение этого понятия, - является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль

Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой и человеком, составляет симметрия, точнее, все ее виды – от простейших до самых сложных. Кристаллы издавна восхищали нас своим совершенством, строгой симметричностью форм. Симметричные мозаики, фрески, архитектурные ансамбли будят в людях чувство прекрасного, музыкальные и поэтические произведения вызывают восхищение именно своей гармоничностью. Симметрия принадлежит к числу широко распространенных явлений.

В автобиографической повести «Отрочество» Лев Николаевич Толстой писал:

«Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем оно основано? Разве во всем в жизни симметрия?».

Попытаемся ответить на эти вопросы. Поскольку каждый человек имеет хотя бы интуитивное представление о симметрии, начнем с последнего вопроса:

Разве во всем в жизни симметрия? Действительно, достаточно оглянуться вокруг, что бы убедиться, что это так: рыбы и птицы, животные и насекомые, обезьяна и человек, цветы и листья, грибы и водоросли - во всем в жизни симметрия! Симметрия принадлежит к числу широко и повсеместно распространенных явлений. Ее всеобщность служит эффективным инструментом познания природы. Симметрия в природе – следствие необходимости сохранять устойчивость. За видимой симметрией внешних форм лежит невидимая внутренняя симметрия построения, пространственного расположения элементов гарантирующего равновесие. Можно сказать, что симметрия – это проявление стремления материи к надежности и прочности. Действительно, симметричные формы наиболее устойчивы, к разного рода воздействиям, поскольку они обеспечивают повторяемость удачных форм.

Законы формообразования в живой природе подчиняются известному из кристаллографии принципу симметрии Кюри: форма тела сохраняет только те элементы собственной симметрии, которые совпадают с накладываемыми на него элементами симметрии внешней среды.

Морская звезда – пример организма с поворотной симметрией 5-го порядка (Приложение 1, Рис. 1). Этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе, особенно у цветов (цветы зверобоя, незабудки, гвоздики, колокольчики, вишни, яблони, мандарина, земляники, малины, рябины и т.д.), и принципиально не возможен в кристаллических решетках неживой природы. Симметрию 5-го порядка называют симметрией жизни. Это своеобразный защитный механизм живой природы против кристаллизации, против окаменения, за сохранение живой индивидуальности.

Благодаря симметрии живой организм приобретает, по крайней мере, два жизненно важных качества: устойчивость и «изовитальность» - способность одинаково развиваться относительно центра, оси или плоскости симметрии. Ясно, что в случае асимметричной формы животного относительно вектора движения поворот в одну из сторон был бы для него затруднительным, и естественным для него стало бы не прямолинейное, а круговое движение. Хождение по кругу рано или поздно закончится для животного трагически. Зеркальной симметрией обладает, например, автомобиль, одинаково хорошо поворачивающий и вправо, и влево, чего нельзя сказать о мотоцикле с коляской, который такой симметрией не обладает и постепенно вытесняется автомобилем и своим двухколесным зеркально-симметричным собратом.[2]

Существует ли некая глобальная сила, делающая мир симметричным? Такая вселенская сила есть – это сила тяготения. Поле тяготения обладает высшей формой симметрии - сферической, поэтому сферически симметричны Земля, Солнце и все космические тела, сформированные под действием собственного поля гравитации. По той же причине сферически симметричны и взвешенные в воде микроорганизмы, для которых поле тяготения вторично по сравнению со сферически симметричным полем давления жидкости. [4]

Что такое симметрия? Начнем с этимологии слова – это всегда полезно. Греческое слово «симметрия» означает совместная мера, соразмерность. В повседневном языке под симметрией понимают чаще всего упорядоченность, гармонию, соразмерность.

Как отмечал наш выдающийся ученый академик В.И. Вернадский (1863 – 1945), «чувство симметрии и реальное стремление его выразить в быту и жизни существовало в человечестве с палеолита и даже с эолита … Этот опыт многих тысяч поколений ясно указывает на глубокую эмпирическую основу этого понятия и ее существования в той материальной среде, в которой жил человек, в биосфере».

По словам академика А.В. Шубникова (1887 – 1970) «изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунках и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».

Научное определение симметрии принадлежит крупному немецкому математику Г.Вейлю (1885 – 1955), который в своей книге «Симметрия» проанализировал также переход от простого чувственного восприятия симметрии к ее научному пониманию. Согласно Вейлю, под симметрией следует понимать неизменность (инвариантность) какого-либо объекта при определенного рода преобразованиях. Можно сказать, что симметрия есть совокупность инвариантных свойств объекта. Например, кристалл может совмещаться с самим собой при определенных поворотах, отражениях, смещениях. (Приложение 1, Рис. 2 - кристалл ставролита). Однако, природа была бы слаба и бездарна, если бы все время только дублировала саму себя. Даже для повторения своих созданий она выбирает различные пути, что особенно наглядно прослеживается в разных видах симметрии. Например, простейшие морские организмы – радиолярии (в переводе с лат. это название означает «золотой диск»). Эти организмы живут как на поверхности моря, так и на разных его глубинах. Радиолярии настолько малы, что не заметны невооруженным глазом. Но если посмотреть в микроскоп, то откроется фантастическая природная геометрия симметрий. (Приложение 1, Рис. 3) Симметрия многообразна. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разным операциям – поворотам, отражениям, переносам.

Будем называть симметрией фигуры или явления любое преобразование, переводящее фигуру или явление в себя, то есть обеспечивающее самосовмещение.

Итак, геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если они останутся неизменными. Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72⁰ () займет первоначальное положение (Приложение 1, Рис. 4).

Перечислим знакомые виды симметрии (их определения есть в любом школьном учебнике геометрии). К ним относятся три вида: симметрия относительно точки (центральная симметрия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия) и симметрия относительно плоскости.

Центральная симметрия – группа операций над объектом, включающую только такие операции симметрии, которые оставляют на месте хотя бы одну точку пространства.

При центральной симметрии свойства точки пространства определяются только ее расстоянием от особой точки, называемой центром симметрии. В качестве примера объектов обладающих точечной симметрией можно привести на плоскости – мишень для стрельбы, в пространстве – мяч, кристалл алмаза и др. (Приложение 1, Рис. 5)

Осевая симметрия – группа операций над объектом, включающая только такие операции симметрии, которые оставляют на месте хотя бы одну ось пространства.

При осевой симметрии свойства точки пространства определяется ее расстоянием от особой прямой линии, называемой осью симметрии и положением проекций этой точки на ось. Например, осевой симметрией обладает человеческое лицо - ось проходит между бровями, через нос (хотя существует утверждение, что абсолютно симметричное лицо выглядело бы безжизненно), ученическая тетрадь – ось симметрии есть линия перегиба, теннисная ракетка – осью симметрии является ручка ракетки и др. (Приложение 1, Рис. 6)

Переносная или скользящая симметрия – последовательное выполнение осевой симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии (этот вектор может быть и нулевым). (Приложение 1, Рис. 7)

Плоскостная симметрия – группа операций над объектом, включающая только такие операции симметрии, которые оставляют на месте хотя бы одну плоскость пространства.

При плоскостной симметрии свойства точки пространства определяются ее расстоянием от особой плоскости, называемой плоскостью симметрии и положением проекции этой точки на плоскость. В некоторых источниках такую симметрию называют зеркальной. А зеркало не просто копирует объект, но и меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. В сравнении с самим объектом его зеркальный двойник оказывается «вывернутым» вдоль направления, перпендикулярно плоскости зеркала. Примерами фигур – зеркальных отражений одна другой – могут служить правая и левая руки человека, два близнеца, смотрящие друг на друга через окно на одинаковом расстоянии от этого окна по обе его стороны, в этом случае плоскость симметрии совпадает с плоскостью окна и др. (Приложение 1, Рис. 8)

Исторически сложилось, что именно зеркальная симметрия (ее еще называют геральдической) использовалась разными народами для изготовления предметов быта. Типичен в этом отношении рисунок на известной серебряной вазе царя шумеров Энтемены, правившего в городе Лагаше около 2700 г. до н.э. На рисунке изображен орел с львиной головой и распростертыми крыльями. В когтях у него с каждой стороны по оленю, а на оленей, в свою очередь, нападают львы. (Приложение 1, Рис. 9) Перенесение точной симметрии, присущей орлу, на других животных заставило, очевидно, удвоить изображения. Позже орла стали изображать с двумя головами, смотрящими в разные стороны. Так требование симметрии полностью восторжествовало над принципом подражания природе. Затем этот геральдический мотив был обнаружен в Персии, в Сирии, а потом стал гербом Византии, символизируя устремленность государства, как на запад, так и на восток.

После падения Византии племянница ее последнего императора Софья Палеолог бежала в Рим, а оттуда была выдана замуж за великого князя московского Ивана III. Самым ценным приданным своей невесты жених считал ее родство с византийским императором, что давало ему повод объявить Москву третьим Римом[1], завладеть государственным гербом – двуглавым орлом – и объявить себя уже не великим князем, а государем (царем) всея Руси. Двуглавый орел хорошо послужил государству Российскому как символ объединения русских земель вокруг богато города и умного, волевого лидера. И в настоящее время является гербом Российской Федерации. (Приложение 1, Рис. 10)

Кроме выше перечисленных видов симметрий в природе можно наблюдать и так называемую винтовую симметрию. Например, рассматривая расположение листьев на ветке дерева, видим, что один лист не только отстоит от другого, но повернут вокруг оси ствола. Листья располагаются на ветке по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет.

Но не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех их принципом симметрии.

Симметрия многолика. Она обладает свойствами, которые одновременно и просты, и сложны, способны проявляться и единожды, и бесконечно много раз.

И несколько слов о нарушении симметрии. Как уже отмечалось, все физические законы являются симметричными. Но при ближайшем рассмотрении в каждой такой симметрии обнаруживается маленький изъян. Оказывается, природа не терпит точных симметрий! Природа почти симметрична, но не абсолютно симметрична. Так, планетные орбиты, которые еще Пифагором мыслились в виде совершенных окружностей, на самом деле оказались почти окружностями, но все-таки не окружностями, а эллипсами. Приблизительная симметрия является сегодня одной из научных загадок.

Почему симметрия приятна для глаз? По-видимому, господство симметрии в природе, во многом объясняется эстетической ценностью симметрии для человека. С детства человек привыкает к симметричным родителям, затем симметричным друзьям; он видит симметрию в окружающем мире: бабочках, птицах, рыбах, животных, в стройных елях и волшебных узорах снежинок, машинах, бордюрах, которые издревле были любимым декоративным элементом. Человек привыкает видеть в природе и вертикальные оси и плоскости симметрии, и он охотнее воспринимает вертикальную симметрию. Мы ни где не увидим обои с горизонтальными осями симметрии, ибо это вызывало бы неприятный контраст с вертикально растущими за окном деревьями. Единственная горизонтальная симметрия в природе это отражение в воде. Возможно, в необычайности такой симметрии и заключается ее завораживающая сила. (Приложение 1, Рис. 11)

Даже человек, мало знакомый с геометрией, легко выберет из предложенных ему фигур наиболее симметричные. Например, из всех треугольников самым симметричным является равносторонний, а из всех прямоугольников – квадрат. Попробуем спросить себя: какая фигура на рисунке 1 нравится нам больше? Скорее всего, большинство из нас назовет или равносторонний треугольник, или квадрат. Так как человек инстинктивно стремится к гармонии и, устойчивости и красоте. Наверное, поэтому нам нравятся более симметричные фигуры. С ними даже работать проще. Например, при измерении площадей используются квадраты, так как они без пропусков и наложений могут заполнить всю плоскость. Так же заполнить всю плоскость способны и равносторонние треугольники и шестиугольники. Еще пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий – треугольник, квадрат и шестиугольник. Убедиться в этом легко. Достаточно использовать формулу суммы углов многоугольника. Если плоскость заполнена n-угольниками, то в каждой вершине будет сходится многоугольников, где - угол правильного n-угольника. Легко найти, что , , , и при . Поэтому делится нацело на только при 4; 6.

Самыми совершенными из фигур считаются круг и его пространственный аналог – шар. И это не случайно, ведь они переходят сами в себя при любом повороте вокруг своего центра, при симметрии вокруг любого своего диаметра, то есть эти фигуры обладают бесконечным множеством симметрий.

По тому, сколько симметрий имеют фигуры, можно проводить их классификацию. Именно их классификация позволяет нам взглянуть не на их хаотическое множество, а на строгую систему. Например, к одному классу можно отнести фигуры, которые совмещаются единственным способом – тождественным преобразованием. К другому классу – имеющие два вида симметрии: тождественное преобразование и одну осевую симметрию. (Приложение 1, Рис. 12) Найдется и такой класс, в который попадут все равносторонние треугольники и еще такие их собратья по преобразованиям, которые мы видим на рис.13 (Приложение 1).

К отдельному классу относятся фигуры, обладающие бесконечным числом симметрий – это круги, кольца и т.д.

Приведем пример использования различных симметрий в декоративно-прикладном искусстве. На рисунке 14 (Приложение 1) приведены примеры, полученные с использованием различных типов геометрической симметрии из простой, бесформенной кляксы. Узор на рисунке б получен с помощью зеркальной симметрии. Закон его построения слишком прост, поэтому не вызывает особого интереса и эстетической ценности.

Узоры, приведенные на рисунке в, называются бордюрами (бордюр – периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте) и представляют собой тип переносной симметрии, когда каждая предыдущая фигура совпадает с последующей при поступательном перемещении вдоль бордюра на постоянный интервал (шаг симметрии). Нижний бордюр имеет более сложный закон построения, чем простая переносная симметрия. Всего же существует семь типов бордюров.

На рисунке г показаны так называемые розетки. Розетки – это круглые орнаменты, встречающиеся в резьбе по дереву, в настенной лепке, в вышивках, в ковровых изделиях. Как правило, основополагающей формой розетки служит круг. Они получаются поворотом фигуры вокруг вертикальной оси симметрии на угол , где , то есть обладают поворотной симметрией n-го порядка. Например, верхняя розетка обладает поворотной симметрией 6-го порядка, средняя – 8-го порядка, а вот нижняя розетка обладает поворотной симметрией 3-го порядка, но в тоже время она сочетает поворотную симметрию с зеркальной.

На рисунке д представлены орнаменты. Орнамент (от лат. ornamentum - украшение) – это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. (Приложение 1, Рис. 15) Орнамент исторически использовался для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия и архитектурных сооружений). В построении орнамента используется главным образом принцип симметрии. Орнаментальная симметрия строится на одной из пяти возможных плоских решеток, основу которых составляют правильный треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелограмм и правильный шестиугольник. Например, верхний орнамент на рисунке имеет квадратную решетку, а нижний – гексагональную (правильный шестиугольник) решетку. Весь орнамент получается с помощью переносной симметрии. Русский ученый-кристаллограф Евграф Степанович Федоров (1853 – 1919) доказал, что существует всего 17 типов плоских орнаментов с различными видами симметрий.

Таким образом, оказывается, что с помощью симметрии обыкновенная клякса способна превратиться в затейливые узоры.

Целесообразность симметрии понимали даже первобытные люди, о чем свидетельствуют многочисленные симметричные орудия труда и украшения с симметричными рисунками. У древних греков симметрия была олицетворением закономерности, целесообразности, а, следовательно, и красоты. В подтверждение достаточно вспомнить строго симметричные формы архитектурных памятников, изумительную стройность греческих ваз, математическую строгость их орнамента. С тех пор симметрия и красота в сознании человека слиты воедино.

В «Фаусте» Гете противопоставляет в образах прекрасной Елены и одноглазой, однозубой старухи Форкиады красоту симметрии и уродство асимметрии. В «Сказке о царе Салтане…» Пушкин рисует величавую Царевну-Лебедь со звездой во лбу (красота – симметрия) и окривевших злодеек ткачиху с поварихой (уродство – асимметрия). В «Войне и мире» Льва Толстого мы читаем: «Это был огромный, в два обхвата, дуб, с обломанными, давно видно, суками и обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюже, несимметрично растопыренными корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами». [2]

С симметрией в природе мы встречаемся не менее часто, чем в человеческом творчестве. Например, в музыке: ряд музыкальных форм строится симметрично. Ярким примером служит рондо (от фр. rond - круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Не напоминает ли это зеркальную симметрию, где основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды?

Симметрия также присутствует и в литературных произведениях. В «Евгении Онегине» А.С. Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытать горечь отвергнутой любви. В трагедии Пушкина «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов. Убийцу царственного наследника, занявшего престол, сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца царевича.

Нагляднее всего симметрия видна в архитектуре. (Приложение 1, Рис. 16) Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как устойчивости, спокойствия и равновесия. Храмы, посвященные богам, и должны быть такими: боги вечны, их не волнуют людские заботы.

Пусть в горном Олимпе блаженствуют боги:

Бессмертье их чуждо труда и тревоги…

Так представляли богов древние архитекторы и сообразно своему представлению строили храмы, которые пережили века и столетия. [3]

Однако, ответив на поставленные вопросы, стоит задать еще один. Если симметрия – один из принципов гармоничного построения мира, то чем же является асимметрия?

Рассмотрим фрагмент гравюры XVI в. «Кадриль перед королевой», на которой в центре воображаемого квадрата изображены королева и первая придворная дама, а по диагоналям квадрата стоят симметричные группы других дам. (Приложение 1, Рис. 17) Красивая гравюра! Но для чего все эти женщины собрались вместе? Ответить на этот вопрос по одному изображению трудно. Их симметричное расположение настолько спокойное, что, кажется, будто они собрались простоять так целую вечность. Но название гравюры подсказывает: женщины танцуют кадриль.

Если симметрия вызывает чувство покоя и скованности, то асимметрия – чувство движения, свободы. Чтобы убедиться в этом рассмотрим фарфоровую статуэтку С.С. Пименова «Водоноска». (Приложение 1, Рис. 18) На сарафане девушки вышивка изогнулась, фигура потеряла симметрию, но приобрела движение. Не будь этой «погрешности», девушка казалась бы неподвижной.

Асимметрия наравне с симметрией пробивала себе дорогу в окружающем мире, ибо сведение красоты только к симметрии ограничивало бы его богатство внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Итак, симметрия – это страж покоя, а асимметрия – двигатель жизни.

Между симметрией и ее отрицанием – асимметрией есть еще два важных симметрийных понятия – антисимметрия и диссимметрия.

Вообразим некое волшебное зеркало, которое отображает данное черно-белое изображение, как и обычное зеркало, но при этом меняет цвета на противоположные. Подобное явление называют антисимметрией. (Приложение 1, Рис.19а, Рис. 19 – М. Эшер. День и ночь, 1938 г.) Итак, антисимметрия есть сохранение одного свойства объекта и замена другого свойства на противоположное.

Большую роль антисимметрия играет в искусстве. Достаточно вспомнить «антисимметричные» названия великих литературных произведений: «Война и мир», «Преступление и наказание», «Принц и нищий», «Волки и овцы», «Толстый и тонкий» и др. Прекрасным примером целых направлений в искусстве являются чернофигурный и краснофигурный стили древнегреческой вазописи. (Приложение 1, Рис. 20)

Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметрийных свойств и отсутствии других.

Симметрия придает красоте стройность, объективную закономерность, тогда как диссимметрия оставляет свободу художнику. Только согласие двух разногласных начал симметрии и диссимметрии ведет искусство к его идеалу, именуемому гармонией.

Симметрия, как объективный признак красоты, как необходимый элемент гармонии частей и целого проходит через всю многовековую историю человечества. «Во всем в жизни симметрия».

---

Дата добавления: 2015-08-05