ГиперболА. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных то­чек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная вели­чина; указанная разность берется по абсолютному значению;кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы при­нято обозначать через F₁ и F₂, а расстояние между ними — через 2с.

Замечание. Разность расстоянийот произвольной точки М до двух фиксированных точек F₁ и F₂, очевидно, не может быть больше расстояния между точками F₁ , F₂. Эта разность равна расстоянию между F₁ F₂ в том и только в том случае, когда точка М находится на одном из продолжений отрезка F₁ F₂. Следовательно, геометри­ческое место точек, для ко­торых разность расстояний от двух фиксированных точек F₁ F₂ есть постоянная величина, равная расстоянию между F₁ и F₂ представляет собой оба продолжения отрезка F₁ F₂ (рис. 52).

Если разность расстояний от некоторой точки М до то­чек F₁ и F₂ равна нулю, то эта точка равноудалена от F₁ и F₂ . Следовательно, геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек F₁ , F₂ есть постоянная величина, равная нулю, представляет собой прямую, перпендикулярную к отрезку F₁ F₂ в его се­редине (рис. 53).

Указанные случаи исключены оговоркой в конце предыду­щего определения.

Пусть М - произвольная точка гиперболы с фокусами F₁ и F₂ (рис. 54). Отрезки F₁M и F₂M (так же, как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки M и обозначаются через r₁,r₂ (F₁M=r₁, F₂M=r₂). По определению гиперболы разность фокальных радиусов ее точки М есть постоянная величина (т. е. при изменении положения точки М на гиперболе разность ее фокальных радиусов не меняется); эту посто­янную принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М гиперболы имеем либо , если точка М находится ближе к фокусу F₂, либо , если точка М находится ближе к фокусу F₁

Так как по определению гиперболы и , то , т.е. . (3)

В следующем пункте мы выведем уравнение гиперболы, после чего, анализируя это уравнение, установим ее форму. Мы увидим, что гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ее ветвями, каждая из которых бесконечно простирается в двух направлениях; целая гипербола симметрична относительно прямой F₁F₂ а также относительно прямой, проходящей перпендикулярно к отрезку F₁F₂ через его сере­дину (см. рис. 54).

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F₁ , F₂ (вместе с тем будем считать данными а и с). Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, оси которой расположим специальным образом по отношению к этой гиперболе; именно, в качестве оси абсцисс мы возь­мем прямую F₁F₂, считая ее направленной от F₁ к F_2, начало координат поместим в середину отрезка F₁F₂ (рис. 54).

Выведем уравнение гиперболы в установленной системе координат. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у а фокальные радиусы F₁M и F₂M через r₁ и r₂. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда r₁ - r₂ = 2 а., или r₂ – r ₁ = 2 а. Последние два равенства мы объединим общей записью

r₁ - r₂ = ± 2 а (4)

Чтобы получить искомое уравнение гиперболы, нужно в равен­стве (4) заменить переменные r₁ и r₂ их выражениями через текущие координаты х, у. Так как F₁F₂=2c и так как фокусы F₁ и F₂ расположены на оси Ох симметрично отно­сительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+ с; 0); приняв это во внимание м применяя формулу (2°) п°18, находим:

(5)

Заменяя r₁ и r₂ в равенстве (4) найденными выражениями, получаем:

(6).

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы в наз­наченной системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х;у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на данной гиперболе (фактически, мы здесь имеем два уравнения – одно для правой, другое для левой ветви гиперболы).

Дальнейшие выкладки имеют целью получить уравнение гиперболы в более простом виде. Уединим в уравнении (6) первый радикал, после чего возведем обе части равенства в квадрат; получим:

(7)

или

(8).

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем;

(9),

откуда

(10).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

(11)

Геометрический смысл величины b будет раскрыт несколько позднее; сейчас мы только заметим, что с > а (см. п° 83), следовательно, с²—а² > 0 и величина b вещественна. Из равенства (11) имеем:

У^с²—^, вследствие чего уравнению (10) можно придать вид

,

или

(12)

Докажем, что уравнение (12) есть уравнение данной гиперболы. Этот факт не является самоочевидным, поскольку уравнение (12) получено из уравнения (6) двукратным осво­бождением от радикалов; очевидно лишь, что уравнение (12) есть следствие уравнения (6).

Мы должны доказать, что уравнение (6) в свою оче­редь есть следствие уравнения (12), т. е. что эти уравнения эквивалентны.

Предположим, что х, у —какие-нибудь два числа, для которых выполняется равенство (12). Производя предыдущие выкладки в обратном порядке, мы подучим из равенства (12) Сначала равенство (10), затем равенство (9), которое сейчас запишем в виде

.

Извлекая корень из обеих частей этого равенства, по­лучим;

(13)

Если точка (х, у} находится в левой полуплоскости, то х<0 и левая часть равенства (13) отрицательна. В этом случае, следовательно, в правой части равенства (13) нужно брать знак минус. Если же точка (х; у) находится в правой полуплоскости, то х > 0; согласно уравнению (12) имеем х а. Так как с > а, то сх > а², следовательно, левая часть равенства (13) положительна; значит, в данном слу­чае в правой части равенства (13) нужно брать знак плюс. Таким образом, равенство (13) имеет тот же смысл, что и равенство (8). Производя надлежащие преобразования, мы получим из равенства (8) равенство (7); последнее мы напишем в виде

Отсюда

(14)

Выясним, какой знак нужно брать в правой части этого равенства перед скобками. Рассмотрим два случая,

1) Точка (х; у) находится в правой полуплоскости, тогда согласно предыдущему внутри скобок следует выб­рать знак плюс, вся величина в скобках будет положительна значит, и перед скобками нужно брать положительный знак.

2) Точка (х; у) находится в левой полуплоскости. В этом случае х —число отрицательное, значит, абсолют­ная величина разности х —с равна сумме |л:|+с. Согласно уравнению (12) имеем а; кроме того, с >а. Следова­тельно, (х — с)²>4а² сумма (х — с)²+4y тем более превы­шает 4а², корень из этой суммы больше 2а и вся величина внутри скобок в правой части равенства (14) снова поло­жительна. Таким образом, и в этом случае в равенстве (14) перед скобками нужно брать знак плюс. Мы видим, что при любом расположении точки (х; у) равенство (14) приводится к виду

,

откуда сразу получается равенство (6).

Итак, уравнение (6) выводится из уравнения (12), как и уравнение (12) выводится из уравнения (6). Тем самым дока­зано, что уравнение (12) есть уравнение данной гипер­болы, поскольку оно эквивалентно уравнению (6).

Уравнение (12) называется каноническим уравнением гиперболы.

85. Уравнение

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Дата добавления: 2015-08-03