Исследование формы эллипса

Проведем исследование формы эллипса путем анализа его канонического уравнения

.

Алгебраической особенностью уравнения (1), является то, что оно содержит члены только с четными степе­нями текущих координат.

Указанной алгебраической особенности уравнения (1) соответствует важная геометрическая особенность опреде­ляемой им линии, именно; эллипс определяемый уравнением (1), симметричен как относительно оси Ох, так и относи­тельно оси Оу.

В самом деле, если М(х; у)— какая-нибудь точка этого эллипса, т. е. если числа х, у удовлетворяют уравнению (1), то числа х, у также удовлетворяют уравнению (1); следо­вательно, точка М' (х; —у} также лежит на этом эллипсе. Но точка (х; —у} симметрична точке М(х; у} относи­тельно оси Ох. Таким образом, все точки эллипса распо­ложены парами, симметрично относительно оси Ох. Иначе говоря, если мы перегнем чертеж по оси Ох то верхняя часть эллипса совместится с его нижней частью. А это и означает, что эллипс симметричен по отношению к оси Ох.

Симметричность рассматриваемого эллипса относительно оси Оу доказывается совершенно аналогично (на основании того, что если числа х, у удовлетворяют уравнению (1), то ему удовлетворяют и числа — х, у}.

Чтобы исследовать форму эллипса, выразим из уравне­ния (1) величину у как функцию от х:

,

или

.

Поскольку эллипс симметричен относительно каждой из координатных осей, нам достаточно рассмотреть лишь ту его часть, которая лежит в первой координатной четверти.

Так как указанная часть эллипса лежит в верхней полу­плоскости, то ей соответствует знак + в правой части уравнения (2); а так как она вместе с тем лежит в правой полуплоскости,то для всех ее точек х 0. Таким образом, мы должны изобразить график функции

(3),

при условии х 0.

Возьмем сначала х = 0, тогда . Точка является самой левой точкой рассматриваемого графика.

Пусть теперь х увеличивается, начиная от нуля. Очевидно, что при увеличении х подкоренное выражение в формуле (3) будет уменьшаться; вместе с тем, следовательно, будет уменьшаться и величина у. Таким образом, переменная точка М(х; у), описывающая рассматриваемый график, движется вправо и вниз (рис. 47). Когда х сделается равным а, мы получим у=0; тогда точка М(х; у) совпадает с точкой А(а; 0), лежащей на оси Ох. При дальнейшем увеличении х, т. е. при х > а, подкоренное выражение в формуле (3) стано­вится отрицательным, а значит, у - мнимым. Отсюда сле­дует, что точка А является самой правой точкой графика. Итак, частью эллипса, расположенной в первой координатной четверти, является дуга ВА, изображение которой дано на рис. 47.

Рис. 47.

Производя зеркальные отра­жения дуги ВА относительно ко­ординатных осей, мы получим весь эллипс; он имеет форму выпукло­го овала с двумя взаимно перпен­дикулярными осями симметрии (рис. 48).

Оси симметрии эллипса называют обычно просто его осями, а точку пересечения осей — центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его верши­нами. На рис. 48 вершины эллипса суть точки А, , В и .

Рисунок 48

Заметим, что осями эллипса принято называть также отрезки АА' = 2а и ВВ' = 2b.

В этом случае отрезок ОА = а — называют большой полу­осью эллипса, отрезок ОВ=b — малой полуосью. Но, само собой разумеется, эллипс, определяемый уравнением вида (1), может быть расположен так, что его фокусы будут на оси Оу; тогда b > а и большой полуосью его будет отре­зок ОВ=b. Но, во всяком случае, длина отрезка ОА на оси абсцисс обозначается через а, а длина отрезка 0В на оси ординат обозначается через b.

Замечание. На рис.47 часть эллипса, расположенная в первой координатной четверти, изображена в виде дуги ВА всюду выпуклой «вверх»; кроме того, на рис. 47 показано, что направление этой дуги в точке В перпендикулярно к оси Оу, а в точке А перпендикулярно к оси Ох (вслед­ствие чего полный эллипс в своих вершинах не имеет за­острений). Между тем мы не доказали, что дуга ВА дейст­вительно обладает такими свойствами. Но мы не будем этим заниматься, так как такого рода исследования графиков наиболее естественно проводить при помощи методов мате­матического анализа.

В частном случае, когда а=b, уравнение

принимает вид

.

Такое уравнение определяет окружность радиуса а (с центром в начале координат). В соответствии сэтим окружность рассматривается как частный случай эллипса.

Дата добавления: 2015-08-03