Эллипс как проекция окружности на плоскость. Эллипс как сечение круглого цилиндра

Докажем, чтопроекция окружности на про­извольную плоскость является эллипсом.

Пусть окружность k, лежащая в плоскости , проек­тируется на некоторую плоскость . Обозначим через k' геометрическое место проекций всех точек окружности k; нужно показать, что k' есть эллипс. Для удобства рас­суждений будем предполагать, что плоскость а проходит через центр окружности k (рис. 50). Введем на плоскости а декартову прямоугольную систему координат, приняв в ка­честве оси Ох прямую, по которой пересекаются плоскости а и Р, в качестве начала координат—центр окружности k. Обозначим через а радиус окружности k, через φ — острый угол между плоскостями а и Р. Пусть Р —произвольная точка окружности k, М — ее проекция на плоскость о, Q— проекция на ось Ox, t —угол, который составляет отрезок ОР с осью Ох. Выразим координаты точки М через t. Из рис. 50 легко усмотреть, что

Обозначив постоянную величину a cos буквой b, получим:

Эти уравнения в точности совпадают с параметрическими уравнениями эллипса, следовательно, линия k' яв­ляется эллипсом (с большой полуосью а и малой полуосью ).

Легко показать также, чтокаждое сечение круглого цилиндра плоскостью, не параллельной его оси, есть эллипс.

Рис. 50.

Для доказательства рассмотрим какой-нибудь круглый цилиндр и секущую плоскость а (рис. 51); линию, которая образуется в сечении, обозначим через k'. Пусть О – точка в которой плоскость a пересекает ось цилиндра; проведем через точку О плоскость , перпендикулярную к оси. Эта плоскость пересечет цилиндр по окружности k. Обозначим через а радиус этой окружности, через острый угол между плоскостями а и . Выберем затем на плоскости а координатные оси так, как показано на рис. 51. Возьмем на линии k' произвольную точку М; пусть Р - ее проекция на плоскость , Q - проекция на ось Оx, t - угол, который составляет отрезок ОР с осью Ох. Выразим координаты точки М через t, имеем:

Полагая , получим:

Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса; таким образом, линия k' является эл­липсом, что и требовалось доказать.

Рис. 51.

Заметим, что ; следовательно, а есть малая ось эллипса k', его большая ось, т. е. эллипс k' вытянут в направлении оси Оу.

То обстоятельство, что эллипс есть плоское сечение круглого цилиндра, а также проекция окружности на плос­кость, делает представление об этой линии особенно на­глядным.

Теория кривых второго порядка была создана еще в III-IV ст. к н.э. Из того времени появилось много методов графического построения этих кривых на основе их свойств, способов образования, практического применения.

Рассмотрим простейшие из них. Первый способ построения точек показан на рис. 13.51. Выберем произвольную, но меньшую чем 2а величину первого радиуса - вектора R₁, (расстояние от искомой точки к фокусу F₁) и проведем дугу окружности с центром в точке F₁. Определим длину второго радиуса - вектора R₂ = 2а - F₁ и проведем дугу окружности с центром в точке F_2. Точки пересечения дуг есть искомыми точками М₁ и М₂.

Второй способ построения точек эллипса базируется на косоугольной проекции окружности, которую сжимают в направлении маленькой оси (одна точка зрения) или растягивают в направлении большой оси (вторая точка зрения). При этом задают оси эллипса АВ и СД (рис. 13.52). На концах их, как на диаметрах, строят большой и маленький круги. В центре эллипса проводят пучок лучей, которые пересекают окружности в соответствующих точках 1-1', 2-2',.... Из точек на большом круге проводят вертикальные прямые, а из точек на маленьком круге - горизонтальные прямые. Точками эллипса являются точки пересечения соответствующих пар этих прямых.

Часто при построении плоских разрезов тел вращения надо построить эллипс по его диаметрам спряжения, то есть такими диаметрами, каждый из которых разделяет пополам хорды эллипса, параллельные другому диаметру. При проецировании окружности, размещенной в плоскости общего положения, среди множеств взаимно перпендикулярных диаметров окружности только одна пара диаметров проецируется в пару также взаимно перпендикулярных диаметров (то есть осей) эллипса. Один из диаметров совпадает с линией уровня, а второй — с линией наибольшего наклона плоскости. Остаток пар взаимно перпендикулярных диаметров окружности будет проектирование в сопряженные диаметры эллипса.

На рис. 13.53 эллипс задан сопряженными диаметрами ЭР и ВОН. Для построения его точек сторону параллелограмма, который охватывает эллипс, а также соответствующий полудиаметр разделяют в одном и одном и том же отношении на произвольное количество отрезков. Точки эллипса лежат на пересечении соответствующих лучей пучков с вершинами в точках G и H.

Если надо построить касательную к эллипсу, то следует воспользоваться общим для всех К2Г правилом; касательная в заданной точке КОП образовывает одинаковые углы с ее радиусами-векторами (см. рис. 13.51), а нормаль перпендикулярна к касательной и, итак есть биссектрисой угла между радиусами-векторами.

Дата добавления: 2015-08-03