Директрисы эллипса и гиперболы

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окруж­ностью, т. е. что и, следовательно, . Предпо­ложим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ox, т. е. что а > b.

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоя­нии от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат име­ют вид

,

Первую из них мы условимся называть левой, вторую - правой.

Так как для эллипса < 1, то > о. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины. Первую из них мы условимся называть левой, вторую - правой.

Так как для эллипса < 1, то > о. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса; аналогично, левая директриса расположена левее его левой вершины. Эллипс вместе с директрисами изобра­жен на рис. 59.

Рассмотрим какую-нибудь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

Рис. 59.

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии — от него, называются директрисами гиперболы.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

Первую из них мы условимся называть левой, вторую— правой.

Так как для гиперболы >1, то < а. Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы; аналогично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной. Гипербола вместе с директрисами изображена на рис. 60.

Значение директрис эллипса и гиперболы выявляется следующими двумя теоремами.

Теорема 11. Если r — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентри­ситету эллипса.

Доказательство. Предположим для определенности, что речь идет о правом фокусе и правой директрисе. Пусть, М(х;у) —произвольная точка эллипса (см. рис. 59). Расстоя­ние от М до правой директрисы выражается равенством

Рис. 60.

(1),

которое легко усматривается из чертежа; расстояние от точки М до правого фокуса дается второй из формул (2) § 27:

(2)

Из соотношений (1) и (2) имеем:

.

Теорема доказана.

Теорема 12. Если r— расстояние от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса, d— расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы:

.

Доказательство. Предположим для определенности, что речь идет о правом фокусе и правой директрисе. Пусть М(х; у) — произвольная точка гиперболы (см. рис. 60). Нам придется рассмотреть два случая:

1) Точка М находится на правой половине гиперболы. Тогда расстояние от М до правой директрисы выражается равенством

(3),

которое легко усматривается из чертежа. Расстояние от точки М до правого фокуса дается второй из формул (3) § 33:

(4).

Из соотношений (3) и (4) имеем:

2) Точка М находится на левой половине гиперболы. Тогда расстояние от М до правой директрисы выражается равенством

,

( - расстояние от точки М до оси Оу, - расстояние от директрисы до оси Оу, d есть сумма этих расстояний); но так как М находится на левой половине гиперболы, то х есть величина отрицательная, следовательно, |х|= - х, и мы получаем:

(5).

Расстояние от М до правого фокуса дается второй из формул (4) § 33:

(6).

Из соотношений (5) и (6) имеем:

Теорема доказана.

Свойство эллипса и гиперболы, выраженное преды­дущими теоремами, можно положить в основу определения этих линий. Именно, геометрическое место точек, для которых расстояние r от некоторой фиксированной точки (фокуса) и расстояние d до некоторой фиксированной прямой (директрисы) находятся в постоянном отношении

есть эллипс, если < 1, гипербола, если > 1. (Чтобы убедиться в справедливости такого утверждения, нужно вывести уравнение указанного геометрического места и установить, что полученное уравнение представляет собой уравнение эллипса или гиперболы, соответственно случаям < 1 и > 1.)

Естественно поставить вопрос, что представляет собой геометрическое место точек, определенное аналогичным об­разом, но при условии = 1, т. е. геометрическое место точек, для каждой из которых r=d. Оказывается, это есть некоторая новая для нас линия второго порядка, на­зываемая параболой.

Дата добавления: 2015-08-03