Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

К числу наиболее замечательных свойств эллипса, гиперболы и параболы относятся так называемые оптические их свойства. Эти свойства, между прочим, показывают, что название «фокусы» имеет источник в физике.

Мы сформулируем их прежде всего чисто геометрически.

1. Прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит вне угла F₁MF₂ (рис. 70, а).

2. Прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, состав­ляет равные углы с фокальным радиусом FM. и с лучом, который, исходяиз точки М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается (рис. 70, б).

Рисунок 3.70

3. Прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, состав­ляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит внутри угла F₁MF₂ (рис.70,в).

Мы не будем останавливаться на доказательстве этих свойств. Заметим только, что для доказательства их при помощи вычислений нужно уметь выражать угловой коэффициент касательной, зная урав­нение кривой и точку прикосновения. Соответствующие правила даются в курсе математического анализа. Чтобы выявить физический смысл приведенных предложений, представим себе, что эллипс, парабола или гипербола вращается вокруг оси (содержащей фокусы). Тем самым образуется поверхность, называемая соответственно эллипсоидом, па­раболоидом или гиперболоидом. Реальная поверхность такого вида, покрытая амальгамой, представляет собой, соответственно, эллипти­ческое, параболическое или гиперболическое зеркало. Принимая во внимание известные в оптике законы отражения света, заключаем, что:

1. Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе.

2. Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут параллельно оси.

Рис. 71.

3. Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса.

На указанном сейчас свойстве параболического зеркала основано устройство прожектора.

Дата добавления: 2015-08-03