Исследование формы гиперболы

Займемся исследованием гиперболы, определенной уравнением

(1).

Выразим из уравнения (1) величину у как функцию от х:

или

(2)

Так как уравнение (1) содержит члены только с чет­ными степенями каждой из текущих координат х, у, то определяемая им гипербола симметрична относительно каж­дой из координатных осей (доказывается так же, как анало­гичное утверждение для эллипса; см. п°74); отсюда ясно, что достаточно рассмотреть лишь часть гиперболы, лежа­щую в первой координатной четверти.

Так как указанная часть гиперболы лежит в верхней полуплоскости, то в уравнении (2) ей соответствует знак +; а так как она вместе с тем лежит в правой полу­плоскости, то для всех ее точек . Таким образом, мы должны исследовать функцию

(3)

при условии и изобразить ее график.

Возьмем сначала х=0. Подставляя х=0 в правую часть формулы (3), найдем ; мы получаем мнимое число. При возрастании х величина у остается мнимой до тех пор, пока х не станет равным а. Полагая в правой части формулы (3) х=а, найдем y =o, Следовательно, точка А (а; 0) является самой левой точкой графика. При даль­нейшем возрастании х величина у будет вещественной и поло­жительной уже все время; это сразу видно из формулы (3), так как при х > а имеем х² — а² . Из формулы (3) видно также, что у является возрастающей функ­цией от х (если х а), т. е. каждый раз, когда увеличивается х, увеличивается также и у. Наконец, из формулы (3) видно,

Рисунок 55

что при бесконечном возрастании х происходит бесконеч­ное же возрастание у (при х об также и у ), Сопоставляя все, что было сейчас сказано, приходим к сле­дующему заключению: при возрастании х начиная от х = a, переменная точка М(х; у), описывающая график, движется все время «вправо» и «вверх», имея своим началь­ным положением точку А (а; 0); удаление точки М как от оси Оу «вправо», так и от оси Ох «вверх» является бес­конечным (рис. 55).

Рассмотрим более, как именно точка М «уходит в бесконечность».

С этой целью мы наряду с уравнением

(4),

которое при х а определяет изучаемую сейчас часть гиперболы, рассмотрим еще уравнение

(5).

Оно определяет прямую с угловым коэффициентом k = , проходящую через начало координат. Часть этой прямой, расположенная в первой координатной четверти, изображена на рис. 55 (для построения ее использован прямоугольный треугольник ОАВ с катетами ОА=а и АВ=b; очевидно, прямая 0В как раз и имеет угловой коэффициент k = , Мы докажем, что точка М, уходя в бесконечность, неог­раниченно приближается к прямой ).

Возьмем произвольное значение х (х а) и рассмотрим две точки: М(х;у) и N(x;Y), где

Точка М(х; у) лежит на гиперболе (4), точка N(x; Y) - на прямой (5); поскольку обе эти точки имеют одну и ту же абсциссу х, прямая, соединяющая точки М и N, пер­пендикулярна к оси Ох (рис. 56). Подсчитаем длину от­резка MN.

Прежде всего заметим, что

Отсюда Y>y и, следовательно, MN= Y - y. Но

т. е.

Проанализируем полученное выражение, предполагая, что .Знаменатель его представляет собой сумму двух положительных бесконечно растущих слагаемых; следовательно, при знаменатель стремится к (поло­жительной) бесконечности. Числитель этого выражения есть постоянная величина ab. Сопоставляя эти два обстоятель­ства, заключаем, что при правая часть равен­ства (7) стремится к нулю; значит, стремится к нулю и MN=Y—y.

Обозначим через Р основание перпендикуляра, опущен­ного из точки М на прямую (МР —расстояние от точки М до этой прямой). Очевидно МР < MN, а так как MN , то, следовательно, и МР 0. А это мы и хотели доказать.

Рисунок 56

Итак,если переменная точка М уходит в бесконечность по той части гиперболы (1), которая расположена в первой координатной четверти, то расстояние от точки М до прямой стремится к нулю.

Пусть Г - какая-нибудь линия, М —переменная точка на ней, а— не­которая прямая. Если возможно такое движение точки М по линии Г, что 1) точка М уходит в бесконечность, 2) при этом расстояние от точки М до прямой а стре­мится к нулю, — то говорят, что линия Г асимптотически приближается к прямой а. Прямая а в таком случае назы­вается асимптотой линии Г.

Употребляя только что указанную терминологию,мыможем следующим образом сформулировать результат иссле­дования, проведенного в п°87:

График функции (т. е. рассматриваемая часть гиперболы ) асимптотически приближается к прямой при прямая есть асимптота графика функции (и в то же время асимп­тота нашей гиперболы).

Мы отметим еще некоторые дополнительные особен­ности расположения гиперболы относительно ее асимптоты (все еще имея в виду только часть гиперболы, лежащую в первой координатной четверти.

Рассмотрим снова точки М(х; у) и N(x; Y), о которых шла речь в n°87, и вспомним, что точка М лежит на гиперболе, N —на асимптоте. Как установлено в п°87, имеет место неравенство Y>y. Отсюда следует, что точка М всегда находится «ниже» точки N. Иначе говоря, часть гиперболы (1), расположенная в первой координатной чет­верти, на всем протяжении лежит «ниже» своей асимптоты.

Далее, на основании формулы (7) имеем:

,

Знаменатель этой дроби, будучи при х а вещественным и положительным, возрастает при возрастании х. Так как числитель здесь является постоянной величиной, то в силу указанного обстоятельства сама дробь при возрастании х всегда убывает. Таким образом, мы можем утверждать, что если х монотонно стремится к положительной бесконеч­ности (т. е. все время только возрастает), то MN= Y — у стремится к нулю также монотонно (т. е. все время убывая).

Пусть — угол наклона прямой к оси Ox, P - основание перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки М; тогда, очевидно,

(8).

Так как MN стремится к нулю монотонно, a cos есть постоянная, из формулы (8) следует, что и МР стремится к нулю монотонно.

Иначе говоря, где бы ни была расположена на гипер­боле (4) точка М (в первой координатной четверти), если она передвигается по гиперболе «вправо», то расстояние от нее до асимптоты все время уменьшается. Это обстоятель­ство мы выразим следующим образом: приближение гипер­болы к своей асимптоте является монотонным.

Подведем итог всему, что было сказано в пп 86—89. Часть рассматриваемой гиперболы, лежащая в первой координатной четверти, исходит из точки А (а; 0) и идет бесконечно «направо» и «вверх», асимптотически приближаясь к прямой ,притом «снизу» и монотонно.

В согласии с только что сформулированным предложе­нием и выполнен рис. 55.

Замечание. Существенны еще два свойства рассмат­риваемого графика; 1) направление его в точке А (а; 0) перпендикулярно к оси Ох, 2) своей выпуклостью он обра­щен везде «вверх». Мы не будем, однако, доказывать выполнение этих свойств, так как такого рода исследование графиков наиболее естественно проводить средствами мате­матического анализа.

После того как исследована часть гиперболы (4), лежащая в первой координатной четверти, общий вид целой гиперболы может быть легко установлен при помощи зер­кальных отражений относительно координатных осей.

Рис. 57.

Гипербола, определяемая уравнением

изображена на рис. 57. Легко понять, что она (целая гипер­бола) имеет две асимптоты

и

;

первая из этих прямых нам уже знакома, вторая представ­ляет собой ее зеркальное отражение относительно оси Ох или оси Оу.

Оси симметрии гиперболы называют обычно просто ее ося­ми, точку пересечения осей— центром гиперболы. (В данном случае мы имеем дело с гиперболой, оси которой совмещены с осями координат.) Одна из двух осей (в данном случае та, которая совмещена с осью Ох) пересекает гиперболу, дру­гая ее не пересекает. Точки пересечения гиперболы с осью называются ее вершинами, гипербола имеет две вершины (на рис. 57 они обозначены буквами А и А').

Прямоугольниксо сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, мы будем называть основным прямоугольникомгиперболы (на рис. 57 это прямоугольник BB'C'C). Диаго­нали основного прямоугольника гиперболы совпадают с ее асимптотами.

Заметим, что в математической литературе принято также называть осями гиперболы отрезки длиной 2а и 2b, соединяющие середины противоположных сторон основного прямоугольника. Соответственно этому говорят, что урав­нение

определяет гиперболу с полуосями а и b,

Замечание. Если требуется сделать эскиз гиперболы с полуосями а и b, то следует прежде всего построить ее основной прямоугольник, затем асимптоты. После этого может быть изображена сама гипербола либо «на глаз», либо с пред­варительным нанесением на чертеж нескольких ее точек. На рис. 57 показано пунктиром, как построить фокусы гиперболы, имея ее основной прямоугольник; это построе­ние очевидным образом основано на равенстве (которое следует из формулы (11) п°84).

Рассмотрим теперь уравнение вида:

При помощи перестановки букв х и у, а и b оно сводится к уравнению, изученному в предыдущих параграфах. Отсюда ясно, что уравнение (9) определяет гиперболу, располо­женную так, как показано на рис. 58 (вершины ее В и В' лежат на оси Оу). Уравнение (9) также называется канони­ческим уравнением гиперболы.

Две гиперболы, которые определяются уравнениями

,

в одной и той же системе координат и при одних и тех же значениях а и b, называются сопряженными друг с другом.

Рис. 58.

Гипербола с равными полуосями (а=b) называется равносторонней. Каноническое уравнение равносторонней ги­перболы может быть написано в виде

.

Очевидно, что основной прямоугольник равносторонней ги­перболы есть квадрат; отсюда ясно, чтоасимптоты равносто­ронней гиперболы перпендикулярны друг к другу.

В AutoCAD построение гиперболы производится с помощью сплайна по нескольким узловым точкам. Сначала строят координатные оси, а затем асимптоты гиперболы в виде двух прямых, проходящих через точки (a,b)–(-a,-b) и (a,-b)–(-a,b). Координаты узловых точек по оси Х выбирают произвольно, а соответствующие координаты оси Y вычисляют по формуле . Начальной точкой гиперболы при этом должна быть точка (а,0). Рассмотрим пример построения гиперболы с коэффициентами a =10, b =5. Ниже дана таблица расчета координат узловых точек гиперболы.

x	y	-y
	8,66	-8,66
	14,14	-14,14
	19,36	-19,36
	24,49	-24,49
a
b

Далее строят сплайн по рассчитанным координатам и зеркально отображают относительно оси Х. На рис. ХХХХХ показан результат построения гиперболы, окружностями обозначены узловые точки.

Дата добавления: 2015-08-03