Резонанс амплитуды.

Также как и в случае однородного уравнения, анализ вынужденных колебаний технически выгоднее проводить в комплексном представлении, а затем, найдя правильные комплексные решения, произвести проекцию на ось реальности. Значит,

,

где W - циклическая частота понуждающего фактора.

Будем искать решения в режиме установившихся колебаний в виде гармонической функции с частотой понуждающего фактора:

.

Постоянный член (- q) в фазе по смыслу отличается от начальной фазы j ₀, имевшей место в свободных колебаниях. В режиме вынужденных колебаний о начальной фазе говорить бессмысленно, поскольку всякая память о начальных условиях утрачена. Смысл (- q) - это сдвиг по фазе вынужденного колебания относительно понуждающего фактора.

Подстановка вида решения в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний после сокращения общего множителя , зависящего от времени, приводит к соотношению:

.

Обозначим все члены комплексными векторами слева направо: . Для того, чтобы изобразить их на комплексной плоскости примем во внимание, что умножение на i эквивалентно увеличению фазы на p /2, следовательно, первый вектор на p /2 опережает второй, а тот на p /2 опережает третий. Взаиморасположение векторов не зависит от времени. Расположим их так:

Их модули имеют следующие выражения:

.

Введём обозначение: . Модуль этого комплексного вектора

.

Тогда соотношение комплексных векторов примет простой вид:

.

Если q - это сдвиг, на который фаза понуждающего фактора опережает фазу динамической переменной x, то j - это сдвиг, на который фаза понуждающего фактора опережает фазу её первой производной по времени.

По теореме Пифагора: , следовательно,

.

При заданной амплитуде понуждающего фактора и определённых характеристиках колебательной системы b и w ₀ из последнего соотношения легко получить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты понуждающего фактора:

.

Это - немонотонная функция, у которой есть максимум, соответствующий минимуму знаменателя:

Частота, при которой реализуется максимум амплитуды вынужденных колебаний, называется амплитудо-резонансной частотой:

.

Откуда

.

На следующем рисунке представлено семейство зависимостей амплитуды вынужденных колебаний от частоты понуждающего фактора для различных значений коэффициента затухания.

Дата добавления: 2015-07-24