Понятие вынужденных колебаний

Приложим к грузу пружинного маятника, движущегося в вязкой среде (сила сопротивления пропорциональна скорости движения), внешнюю силу, чью проекцию на ось колебаний обозначим F_x.

Тогда проекция второго закона Ньютона на ось колебаний будет иметь вид:

Поделив на массу и перенеся все члены кроме внешней силы в одну сторону, получим:

.

Применим стандартные обозначения:

и получим неоднородное уравнение затухающих колебаний:

,

где функция называется понуждающим фактором. Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения однородного и частного решения неоднородного:

.

Из материала прошлой лекции следует, что (решение однородного уравнения, представляющее свободные колебания, затухает с течением времени). Значит, при постоянно действующем понуждающем факторе В (t) и достаточно больших временах после его включения общее решение будет содержать только слагаемое x₁ (t), целиком контролируемое понуждающим фактором.

Если В (t) является гармонической функцией, то по прошествии времени, достаточном для затухания свободных колебаний, в системе установятся вынужденные колебания, частота которых равна частоте понуждающего фактора.

Дата добавления: 2015-07-24