Резонанс скорости

На самом деле, резонанс амплитуды - не самое важное при анализе вынужденных колебаний. Гораздо важнее поведение амплитуды в зависимости от частоты понуждающего фактора.

Очевидно, что амплитуда первой производной (скорости) равна W А. Следовательно,

.

Максимум функции соответствует минимуму знаменателя, который реализуется при . Значит, резонанс скорости возникает при частоте понуждающего фактора

Вернёмся к комплексной плоскости и разложим комплексный вектор динамической переменной на две составляющих

так, как указано на рисунке.

Из рисунка видно, что модули соответствующих комплексных векторов удовлетворяют соотношениям: ; . Первую величину называют амплитудой поглощения, а вторую амплитудой дисперсии.

Þ

.

Очевидно, что при W= w ₀ соs j =1, sin j =0, то есть j =0.

Теперь можно раскрыть выражения амплитуд поглощения и дисперсии с учётом выражения А (W), полученного раньше:

; .

Полоса частот шириной 2 b с центром в w ₀ называется резонансной полосой. В пределах резонансной полосы

или ;

за пределами резонансной полосы

или ;

при

- максимальна.

Итак, мы ввели самые главные понятия теории вынужденных колебаний: соs j, А_А и А_D. Теперь необходимо прояснить их физический смысл.

Комплексный вектор амплитуды поглощения отстаёт от вектора понуждающего фактора на p /2, что эквивалентно умножению на (- i)комплексной экспоненты . Комплексный вектор амплитуды дисперсии отстаёт от вектора понуждающего фактора на p, что эквивалентно умножению комплексной экспоненты на (- i)²=-1. Поэтому

Þ

.

То есть слагаемое первой производной, связанное с амплитудой поглощения, совпадает по фазе с понуждающим фактором, а слагаемое амплитуды дисперсии отстаёт на p /2. Из следующего рисунка видно, что если бы над комплексными векторами можно было бы выполнять все операции, в том числе и скалярное произведение, то , а , поскольку последние взаимно перпендикулярны. Тогда .

Но мы обоснуем требуемые соотношения, исходя из реального представления гармонических колебаний механического маятника, для того чтобы их физический смысл стал наглядным.

Реальная часть первой производной по времени, которая просто является скоростью груза маятника, выражается через амплитуды поглощения и дисперсии следующим образом:

.

Применим полученный результат к расчету мгновенной мощности внешней силы F_x (t), раскачивающей пружинный маятник в вязкой среде.

Средняя за период колебаний вынуждающей силы мощность:

Интеграл в первом слагаемом равен Т /2, во втором - 0. Значит, средняя за период мощность связана только с амплитудой поглощения:

.

Поскольку, , то

,

где - амплитуда скорости.

Работа понуждающей силы за период может быть выражена через среднюю мощность:

.

Вся эта работа диссипирует в выделяющееся тепло при движении в вязкой среде. Таким образом,

Дата добавления: 2015-07-24