Маятники

Одномерными колебательными системами или маятниками называются системы, характеризуемые одной динамической переменной (в теории колебаний - одной степенью свободы), которая изменяется со временем по гармоническому закону. То, что зависимость от времени гармоническая, вытекает из дифференциального уравнения гармонических колебаний, которому удовлетворяют все маятники.

24.2.1. Идеальный пружинный маятник

Будем рассматривать смещения г руза только вдоль по оси пружины. Тогда пружина будет испытывать лишь одноосные деформации. Начало оси х выберем в положении груза при недеформированной пружине. При этом х представляет собой проекцию вектора деформации пружины на ось деформации

Запишем проекцию II-го закона Ньютона для груза на ось х:

.

Отсюда видно, что для идеального пружинного маятника циклическая частота

24.2.2. Математический маятник

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, отклоняющейся от положения равновесия на малые углы.

При малых углах отклонения вертикальное смещение из положения равновесия всегда значительно меньше горизонтального: . Значит, вертикальным ускорением можно пренебречь. Тогда проекции второго закона Ньютона имеют вид:

Вследствие малости a: . Þ

Þ .

Отсюда видно, что для математического маятника циклическая частота

24.2.3. Идеальный колебательный контур

Идеальным колебательным кон туром называется конденсатор, замкнутый катушкой индуктивности без сопротивления.

Динамическая переменная системы - заряд на конденсаторе . Тогда - ток разряда конденсатора. Поскольку в контуре есть индуктивность, то имеет место ЭДС самоиндукции

,

единственная ЭДС участка, замыкающего обкладки конденсатора. Мы считаем, что ток разряда по всему участку замыкания в данный момент времени одинаков (условие стационарности тока). При этом с точки зрения электрического тока, замкнутого контура мы не имеем, поскольку для свободного заряда конденсатор является разрывом цепи. Поэтому воспользуемся законом Ома для неоднородного участка:

,

где в левой части имеем нулевое падение напряжения участка, поскольку сопротивление отсутствует, а напряжение участка в правой части равно напряжению на конденсаторе: . Подставляя все входящие выражения, получаем:

.

Отсюда видно, что для идеального колебательного контура циклическая частота

.

Дата добавления: 2015-07-24