Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема 1.25. Усі дотичні лінії до поверхні в даній точці лежать в одній і тій самій площині, яку називають дотичною площиною до цієї точки.

Читайте также:
  1. Билет 28. Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов и молекул (орбитальный, спиновый и прецессионный). Типы магнетиков. Теорема Лармора
  2. Векторы. Точки. Основные задачи
  3. Внешние эффекты. Положит. и отрицат. внешн. эффекты и проблема эффективного размещения ресурсов в рын. экономике. Теорема Коуза
  4. Г) по замкненій лінії.
  5. Дедушкины тапочки и бабушкины очки. Плюс и минус. Карточки.
  6. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
  7. Кинематические характеристики движения материальной точки.

Доведення. Нехай дано рівняння поверхні

(31)

і точку Р (х, у, z) на ній. З наближенням точки Р ¢ до точки Р по кривій С, що лежить на поверхні і проходить через точки Р і Р ¢, січна РР ¢ наближатиметься до дотичної до кривої С в точці Р. Нехай рівняння кривої С задано параметрично:

Ці значення х, у, z мають тотожно задовольняти (31). А оскільки диференціал функції (31) при таких х, у, z має дорівнювати нулю, то

Це рівняння показує, що така дотична до кривої С, косинуси кутів якої з осями координат пропорційні до

,

є перпендикулярною до прямої, косинуси кутів якої з осями визначаються відношеннями:

.

А оскільки С є довільною кривою на поверхні, що проходить через точку Р, доходимо висновку: якщо замінити точку Р (х, у, z) точкою Р 1(х 1, у 1, z 1), то всі дотичні до поверхні в точці Р 1 лежатимуть на площині

(32)

Отже, дістали рівняння площини, дотичної в точці (х 1, у 1, z 1) до поверхні, рівняння якої:

.

У разі, коли рівняння поверхні дано у формі , беремо

.

Маємо:

.

Обчислюючи ці значення для точки Р 1(х 1, у 1, z 1) і підставляючи в (32), дістаємо:

(33)

Це є рівняння дотичної площини в точці Р 1(х 1, у 1, z 1) до поверхні, що описується рівнянням .

Повний диференціал функції z від х і у набирає вигляду

.

Подамо геометричну інтерпретацію цього результату. Дотична площина до поверхні z = f (x, y) у точці P (х, у, z), згідно з (33) має рівняння

(34)

де Х, Y, Z — змінні координати будь-якої точки P ¢ площини. Підставивши у (34)

і

знайдемо:

(35)

Порівнюючи (35) і (36), дістаємо:

(36)

Отже, доведено таку теорему.

Теорема 1.26. Повний диференціал функції f (x, y), який відповідає приростам dx i dy, дорівнює відповідному приросту координати z дотичної площини до поверхні z = f (x, y).

 

 

Рис. 1.31

 

Так, на рис. 1.31 РР¢ є дотичною площиною до поверхні РQ у точці Р (х, у, z).

Нехай і

Тоді


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 81 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Процессуальный порядок подачи, рассмотрения и разрешения жалоб | Протокол № _8___ | Теорема 1.20. Для точки екстремуму функ­ції частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують. | Нагадаємо, що у вищій алгебрі квадратичну форму | Отже, якщо | Не є точкою екстремуму, якщо | Поняття умовного екстремуму | Якщо за умов (25) другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точці умовного екстремуму немає. | Метод найменших квадратів | Вирівнювання за допомогою параболи |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних| Обвідні

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)