Теорема 1.25. Усі дотичні лінії до поверхні в даній точці лежать в одній і тій самій площині, яку називають дотичною площиною до цієї точки.

Доведення. Нехай дано рівняння поверхні

(31)

і точку Р (х, у, z) на ній. З наближенням точки Р ¢ до точки Р по кривій С, що лежить на поверхні і проходить через точки Р і Р ¢, січна РР ¢ наближатиметься до дотичної до кривої С в точці Р. Нехай рівняння кривої С задано параметрично:

Ці значення х, у, z мають тотожно задовольняти (31). А оскільки диференціал функції (31) при таких х, у, z має дорівнювати нулю, то

Це рівняння показує, що така дотична до кривої С, косинуси кутів якої з осями координат пропорційні до

,

є перпендикулярною до прямої, косинуси кутів якої з осями визначаються відношеннями:

.

А оскільки С є довільною кривою на поверхні, що проходить через точку Р, доходимо висновку: якщо замінити точку Р (х, у, z) точкою Р ₁(х ₁, у ₁, z ₁), то всі дотичні до поверхні в точці Р ₁ лежатимуть на площині

(32)

Отже, дістали рівняння площини, дотичної в точці (х ₁, у ₁, z ₁) до поверхні, рівняння якої:

.

У разі, коли рівняння поверхні дано у формі , беремо

.

Маємо:

.

Обчислюючи ці значення для точки Р ₁(х ₁, у ₁, z ₁) і підставляючи в (32), дістаємо:

(33)

Це є рівняння дотичної площини в точці Р ₁(х ₁, у ₁, z ₁) до поверхні, що описується рівнянням .

Повний диференціал функції z від х і у набирає вигляду

.

Подамо геометричну інтерпретацію цього результату. Дотична площина до поверхні z = f (x, y) у точці P (х, у, z), згідно з (33) має рівняння

(34)

де Х, Y, Z — змінні координати будь-якої точки P ¢ площини. Підставивши у (34)

і

знайдемо:

(35)

Порівнюючи (35) і (36), дістаємо:

(36)

Отже, доведено таку теорему.

Теорема 1.26. Повний диференціал функції f (x, y), який відповідає приростам dx i dy, дорівнює відповідному приросту координати z дотичної площини до поверхні z = f (x, y).

Рис. 1.31

Так, на рис. 1.31 РР¢ є дотичною площиною до поверхні РQ у точці Р (х, у, z).

Нехай і

Тоді

Дата добавления: 2015-07-24