Читайте также:
|
|
Доведення. Нехай дано рівняння поверхні
(31)
і точку Р (х, у, z) на ній. З наближенням точки Р ¢ до точки Р по кривій С, що лежить на поверхні і проходить через точки Р і Р ¢, січна РР ¢ наближатиметься до дотичної до кривої С в точці Р. Нехай рівняння кривої С задано параметрично:
Ці значення х, у, z мають тотожно задовольняти (31). А оскільки диференціал функції (31) при таких х, у, z має дорівнювати нулю, то
Це рівняння показує, що така дотична до кривої С, косинуси кутів якої з осями координат пропорційні до
,
є перпендикулярною до прямої, косинуси кутів якої з осями визначаються відношеннями:
.
А оскільки С є довільною кривою на поверхні, що проходить через точку Р, доходимо висновку: якщо замінити точку Р (х, у, z) точкою Р 1(х 1, у 1, z 1), то всі дотичні до поверхні в точці Р 1 лежатимуть на площині
(32)
Отже, дістали рівняння площини, дотичної в точці (х 1, у 1, z 1) до поверхні, рівняння якої:
.
У разі, коли рівняння поверхні дано у формі , беремо
.
Маємо:
.
Обчислюючи ці значення для точки Р 1(х 1, у 1, z 1) і підставляючи в (32), дістаємо:
(33)
Це є рівняння дотичної площини в точці Р 1(х 1, у 1, z 1) до поверхні, що описується рівнянням .
Повний диференціал функції z від х і у набирає вигляду
.
Подамо геометричну інтерпретацію цього результату. Дотична площина до поверхні z = f (x, y) у точці P (х, у, z), згідно з (33) має рівняння
(34)
де Х, Y, Z — змінні координати будь-якої точки P ¢ площини. Підставивши у (34)
і
знайдемо:
(35)
Порівнюючи (35) і (36), дістаємо:
(36)
Отже, доведено таку теорему.
Теорема 1.26. Повний диференціал функції f (x, y), який відповідає приростам dx i dy, дорівнює відповідному приросту координати z дотичної площини до поверхні z = f (x, y).
Рис. 1.31
Так, на рис. 1.31 РР¢ є дотичною площиною до поверхні РQ у точці Р (х, у, z).
Нехай і
Тоді
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 81 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних | | | Обвідні |