Поняття умовного екстремуму

Нехай на відкритій множині задано функції

і нехай Е — множина точок, координати яких задовольняють рівняння

(15)

Рівняння (15) називаються рівняннями зв’язку, або обмеженнями.

Означення. Точка називається точкою умов­ного максимуму функції відносно рівняння зв’язку (15), якщо існує такий окіл точки х ⁰, для всіх точок якого, що задовольняють рівняння зв’язку, виконується нерівність:

Якщо за цих умов виконується нерівність

то точку називають точкою умовного мінімуму функції при обмеженнях (15).

Функція z = xy відносно рівняння зв’язку у точці (0, 0) має умовний мінімум, бо z = (0, 0) = 0, а в точках (e, e), що задовольняють рівняння зв’язку, значення функції додатні.

Означення. Точки умовного максимуму і мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум називають іноді відносним екстремумом.

Геометрична інтерпретація (рис. 1.28).

Рис. 1.28

1.3.6. Прямий метод знаходження
точок умовного екстремуму
(Метод виключення)

Якщо рівняння зв’язку

, , (16)

можна розв’язати відносно m змінних, наприклад, відносно змінних :

……………………

,

то дослідження функції на умовний екстремум при обмеженнях (16) зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум функції змінних :

.

Знайти умовний екстремум функції відносно рівнянь зв’язку:

,

●Розв’яжемо рівняння зв’язку відносно змінних x i y:

,

Підставимо знайдені значення x i y у вираз для u та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції

, , якщо ;

тому — точка максимуму функції.

Отже, задана функція у точці має умовний максимум, що дорівнює

1.3.7. Метод Лагранжа знаходження точок
умовного екстремуму

Нехай функції , , , неперервно диференційовні в околі точки і ранг матриці Якобі

(17)

у цій точці дорівнює m.

Означення. Функцію називають функцією Лагранжа, параметри — множниками Лагранжа.

Теорема 1.23. (Необхідна умова існування умовного екстремуму). Для того щоб точка була точкою умовного екстремуму функції при рівняннях зв’язку , необхідно, щоб її координати при деяких значеннях задовольняли систему рівнянь:

Умови (18), (19) означають, що точка є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють рівняння зв’язку.

Доведення. Запишемо рівності виду (18)

, (20)

де, як і раніше, означають диференціали неявних функцій; похідні обчислені в точці

Візьмемо значення множників так, щоб перетворювалися на нуль коефіцієнти при залежних диференціалах :

(21)

.

Це зробити можна, оскільки визначник системи лінійних рівнянь (20), з яких визначаються , відмінний від нуля. При вибраних значеннях множників (20) набере вигляду

(22)

Тут ми знову маємо лише диференціали незалежних змінних, тому коефіцієнти при них мають бути нулями. Отже, поряд з (21) дістаємо

. (23)

Тепер для визначення невідомих та ще m множників маємо стільки ж рівнянь — m рівностей зв’язку і рівнянь:

.

Для того щоб спростити запис цих рівнянь, звичайно вводять допоміжну функцію

.

Тоді зазначені рівності можна подати у вигляді

. (24)

Теорема 1.24. (Достатня умова умовного екстремуму.) Нехай функції,,, двічі неперервно диференційовні в околі точки і нехай у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму функції при обмеженнях (19).

Дата добавления: 2015-07-24