Метод найменших квадратів

Нехай — послідовність значень незалежної змінної, а — послідовність відповідних значень залежної змінної.

Необхідно дібрати пряму, яка «найліпше» відбивала б залежність між х і y. Це означає, що відхилення фактичних значень функції від дібраної прямої мають бути мінімальними.

Нехай

є рівняння цієї прямої. Маємо:

, , …, .

Відхилення від фактичних значень функції становлять:

.

Ці відхилення можуть бути додатними або від’ємними, тому пряму добираємо так, щоб сума квадратів відхилень

була найменшою. Отже, потрібно знайти такі а і b, щоб функція f досягала мінімуму. Необхідна умова існування мінімуму полягає в тому, що

.

Маємо

,

отже,

Обчислюємо

звідки

і

звідки

Таким чином, дістали систему двох рівнянь з двома змінними а і b, які визначають пряму, що «найліпше» відбиває процес змінювання функції:

(26)

Методом найменших квадратів знайти пряму, якою подається залежність величини у від величини х для заданої сукупності спостережень:

хі
уі	3,2	1,8	1,1	0,3	– 0,2	– 2,2	– 2,3	– 4,1	– 5

●Пряму у = а + bx знаходимо із системи рівнянь (26). Допоміжні обчислення вміщуємо у таблиці:

	хі	уі	хіуі	хі ^2
		3,2	3,2
		1,8	3,6
		1,1	3,3
		0,3	1,2
		– 0,2	– 1
		– 2,2	– 13,2
		– 2,3	– 16,1
		– 4,1	– 32,8
		– 5	– 45
		– 7,4	– 96,8

Знаючи коефіцієнти, записуємо систему рівнянь:

Розв’язавши її, дістанемо

а = 4,18, b = –1.

Отже, шукана пряма має рівняння

у» – х + 4,18.

Геометрична інтерпретація (рис. 1.29).

Рис. 1.29

Дата добавления: 2015-07-24