Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних

Нехай функція u = f (x ₁, x ₂, …, x_n) визначена і неперервна в деякій обмеженій замкненій області D і за винятком окремих точок має в цій області скінченні частинні похідні. За теоремою Вейєрштрасса в цій області знайдеться точка х _max (x _min), в якій функція набуває найбільшого (найменшого) значення. Якщо точка лежить усередині області D, то в ній функція має максимум (мінімум), а отже, у цьому разі точка х _max (x _min) міститься серед «підозрілих» на екстремум точок. Але свого найбільшого (найменшого) значення функція може досягати і на межі області.

З огляду на сказане маємо таке правило:

Для того щоб знайти найбільше (найменше) значення функції u = f(x ₁, x ₂, …, x_n) в області D, потрібно знайти всі внутрішні точки, «підозрілі» на екстремум, обчислити значення функції в них і порівняти зі значеннями функції в межових точках області; найбільше (найменше) із цих значень і буде найбільшим (найменшим) значенням у всій області.

Нехай потрібно знайти значення функції

у трикутнику, обмеженому віссю х, віссю у і прямою х + у = 2p (рис. 1.30).

●Маємо

.

Рис. 1.30

Усередині області похідні перетворюються на нуль в єдиній точці , де . Оскільки на межі області, тобто на прямих
х = 0, у = 0 і х + у = 2p, функція дорівнює нулю, то, очевидно, знайдена точка і надає функції найбільшого значення.

Дата добавления: 2015-07-24