Якщо за умов (25) другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точці умовного екстремуму немає.

Доведення. Припустимо існування і неперервність інших по-
хідних для функцій f і . Нехай тепер точка разом із множниками задовольняє сфор­мульовані раніше необхідні умови.

Висновок про існування в цій точці (відносного) екстремуму залежить від знака різниці

,

з тим лише істотним застереженням, що і точка задовольняє рівняння зв’язку (19). Легко зрозуміти, що для таких точок приріст функції f можна замінити на приріст функції L (де всі множники ми вважаємо такими, що дорівнюють ):

.

Оскільки в точці виконуються умови (24) — у цьому й полягає сенс переходу до функції L, — зазначений приріст можна записати за формулою Тейлора:

,

де

,

і , якщо (останні прирости при цьому самі собою будуть нескінченно малими згідно з неперервністю функцій (21)).

Якщо замінити тут усі прирости відповідними диференціалами , то стосовно незалежних змінних нічого не зміниться. Що ж до залежних змінних, то така заміна зумовлює лише необхідність узяти замість коефіцієнтів інші нескінченно малі :

.

Перехід до диференціалів зручний, оскільки диференціали залежних і незалежних змінних пов’язані системою лінійних співвідношень. З огляду на те, що визначник системи (20) у точці , за припущенням, — не нуль, то залежні диференціали можна лінійно подати через незалежні. Підставивши їх вирази у D, замість першої суми дістанемо квадратичну форму відносно диференціалів .

А тепер можна показати, що коли ця форма буде визначеною і притому додатною (від’ємною), то в досліджуваній точці досягатиметься відносний мінімум (максимум), а якщо форма невизначена, то відносного екстремуму немає.

Знайти умовний екстремум функції відносно рівняння зв’язку .

● Функції u і j двічі неперервно диференційовні. Ранг матриці Якобі (17) в даному разі дорівнює 1 у всіх точках, що задовольняють рівняння зв’язку. Отже, можна скористатися методом Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа

.

Згідно з необхідними умовами (18), (19) дістанемо систему

з якої знайдемо , при і , при . Отже, функція u може мати умовний екстремум лише у двох точках: і . Обчислимо другий диференціал функції Лагранжа:

; , ,

звідки .

Знайдемо перший диференціал функції j: У точ­ках і диференціали і , пов’язані рівністю:

, або .

У разі виконання цієї умови другий диференціал функції Лагранжа в точці є додатно визначеною квадратичною формою

,

а в точці — від’ємно визначеною формою

.

Отже, функція u в точці має умовний мінімум, а в точці — умовний максимум.

Дата добавления: 2015-07-24