Асимптоты кривой

1. Пусть кривая (L) является графиком функции , (может быть также или , где и — конечные числа). Пусть и — некоторые фиксированные прямые.

Определение (см. рис. 4.31).

I. Прямая называется асимптотой кривой (L) при , если

. (1)

II. Прямая называется асимптотой кривой (L) при , если

. (2)

рис. 4.31.

Теорема 1. Для того, чтобы график функции имел при асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали одновременно следующие два конечных предела:

и . (3)

► Необходимость. Пусть график функции имеет при асимптоту . Но тогда, по определению, имеем (1):

.

Разделим соотношение (1) на , получим

и, следовательно,

.

Достаточность. Пусть существуют одновременно конечные пределы (3). Но тогда из равенства следует, что

.

А это означает, что у графика функции при имеется асимптота . ◄

Совершенно аналогично доказывается

Теорема 2. Для того, чтобы график функции имел при асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали одновременно следующие два конечных предела:

и .

Замечание. 1) Если или оказываются равными нулю, то соответствующая асимптота называется горизонтальной.

2) Если или оказываются отличными от нуля, то соответствующая асимптота называется наклонной.

2. Пусть кривая (L) является графиком функции . Пусть х ₀ — конечное число.

Определение. Прямая х = х ₀ называется вертикальной асимптотой графика функции , если имеет место хотя бы одно из следующих трех соотношений:

.

На рис. 4.32 представлены некоторые из возможных схем графика функции , когда прямая х = х ₀ является вертикальной асимптотой этого графика.

Рис. 4.32.

Пример. Пусть . Эта функция определена на всей оси за исключением точки х = 0. Имеем

.

Вывод: прямая х = 0 является вертикальной асимптотой графика заданной функции. Имеем, далее,

.

Вывод: прямая является наклонной асимптотой графика заданной функции при .

Имее, также

.

Вывод: прямая является наклонной асимптотой графика заданной функции при .

На рис. 4.33 представлена схема графика функции

Рис. 4.33.

Дата добавления: 2015-07-20