Асимптоты. Прямая называется асимптотой кривой у = f(x), если расстояние точки кривой от этой

Прямая называется асимптотой кривой у = f(x), если расстояние точки кривой от этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении указанной точки по кривой от начала координат.

Различаются вертикальные и наклонные асимптоты.

Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения x = a, при приближении к которым функция у = f(x) неограниченно возрастает. Тогда прямая x = a будет вертикальной асимптотой.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид:

y = kx + b,

где k и b вычисляются по формулам

,

Если или , то наклонных асимптот нет.

Если k = 0, то прямая у = b – частный случай наклонной асимптоты – горизонтальная асимптота.

При построении графика функции у = f(x) нужно выяснить его характерные особенности

Для этого необходимо

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность и нечетность;

3) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва (если они существуют) и установить характер разрывов, найти асимптоты кривой у = f (x);

5) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;

6) найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

Пример 3. 7. Построить график функции

.

Решение.

1) Область определения функции – вся числовая ось Ox, кроме точки x = 2.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.

3) График функции пересекает ось Ox в точке (0; 0). Функция положительна при x > 0, отрицательна при x < 0.

4) Точка разрыва: x = 2, значит, x = 2 – вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту:

Таким образом, получили уравнение наклонной асимптоты

.

5) Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания, для чего вычислим производную

.

Из условия y'(х) = 0, то есть находим стационарные точки: x = 0, x = 6. К ним добавляем точку x = 2, в которой y' (x)не определена.

Таким образом, x = 0, x = 6; x = 2 – критические точки

x = 6 – точка экстремума (минимум), .

На интервалах (–¥; 2), (6; +¥) функция возрастает, на интервале (2; 6) – убывает.

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба, для чего вычислим вторую производную:

.

Из условия у"(х} = 0, то есть , находим точку x = 0. К ней добавляем точку x =2, в которой у"(x) не определена.

Таким образом, x = 0 – точка перегиба.

y (0) = 0, y '(0) = 0.

При x < 0 график функции выпуклый и при \x® –¥ приближается к асимптоте снизу.

При 0 < x < 2и при x > 2 – график функции вогнутый и при x® +¥ – график функции приближается к асимптоте сверху (рис. 2).

Пример 8. Построить график функции .

Решение.

1) Область определения функции – вся числовая ось Oх, кроме точки x = 0.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.

3) График функции расположен выше оси абсцисс в области ее определения, так как .

4) Точка разрыва: x = 0.

значит, x = 0 является вертикальной асимптотой при x ® +0. Найдем наклонную асимптоту:

,

.

Значит, x = 1 – горизонтальная асимптота.

5) Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания, для чего вычислим производную

.

Производная отрицательна при всех x (x ¹ 0), следовательно, функция убывает при всех x (x ¹ 0).

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба, для чего вычислим вторую производную:

.

Из условия у"(x) = 0 находим .

К полученному значению добавляем точку x = 0, в которой у"(x) не определена.

Таким образом, – точка перегиба.

.

При график функции выпуклый и при x® –¥ приближается к асимптоте x = 1 снизу.

При график функции вогнутый. При x > 0график функции вогнутый и при x® +¥ приближается к асимптоте х = 1 сверху (рис. 3).

Рис. 3.

Дата добавления: 2015-07-20