Вектор-функция скалярного аргумента

Уравнения x = x (t), у = у (t), z = z (t)задают параметрически некоторую кривую в пространстве Oxyz. Если – радиус-вектор точки M(x; y; z), то конец переменного вектора

описывает кривую L. В векторной форме уравнение этой кривой можно записать в виде

;

– называется вектор-функцией (рис. 4).

рис. 4

Производная вектор-функции

.

представляет собой вектор, направленный по касательной к кривой L.

Уравнения касательной к кривой L в точке M ₀(x (t ₀); y (t ₀); z (t ₀)):

.

Уравнение нормальной плоскости в точке M ₀:

x' (t ₀)×(x – x (t ₀) + y' (t ₀)×(y – y (t ₀)+ z' (t ₀)×(z – z (t ₀) = 0.

Пример 9. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой

x = 2sin² t, у = 3 sin t cos t, z = 4 cos t

в точке .

Находим

При

Уравнения касательной: . Эта прямая лежит в плоскости .

Уравнение нормальной плоскости: 2(x – 1) – 4(z – 2)=0 или x– 2 z + 3 = 0 – плоскость, параллельная оси ординат.

Дата добавления: 2015-07-20