Асимптоты

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

Определение: Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов и равен бесконечности.

Определение: Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (при ), если (соответственно, ).

Теорема 16. Прямая является наклонной асимптотой графика функции при (при ) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы:

и

(соответственно, и ).

Определение: Наклонная асимптота , у которой , называется горизонтальной асимптотой.

Теорема 17. Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при (при ) тогда и только тогда, когда (соответственно, ).

Задача 6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: Пользуясь схемой для исследования функции, получим:

Область определения функции – вся числовая ось, за исключением точек и , то есть:

.

Функция непериодическая. Исследуем ее на четность и нечетность:

.

Следовательно, данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому далее исследуем функцию только при .

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

1. С осью график пересекается при , откуда , то есть – точка пересечения с осью .

2. С осью график пересекается, если , то есть , откуда .

Таким образом, – единственная точка пересечения графика функции с осями координат.

Найдем интервалы знакопостоянства функции:

,

и так как мы рассматриваем только случай , то получаем .

Аналогично при .

Далее, , , то есть прямая – вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты:

,

,

то есть прямая – наклонная асимптота при (то же и при ). Горизонтальных асимптот график не имеет.

Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя производную первого порядка:

.

Отсюда видно (рис. 3), что при функция имеет максимум в точке (причем ), возрастает на и и убывает на .

Рис. 3

Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную:

.

Следовательно, при функция выпукла вверх, то есть , на и выпукла вниз, то есть , на , – точка перегиба.

Учитывая полученную информацию, строим график функции при , а затем симметрично отражаем его относительно начала координат (рис. 4).

Рис. 4.

Список используемой литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, части 1, 2. – М.: «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2004. – 558 с.

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2007. – 479с.

Тамара Александровна Волкова,

Сергей Сергеевич Соколов

Дата добавления: 2015-07-20